Question

如圖1，直線AB分別交坐標(biāo)軸交于A（-1，0）、B（0，1）兩點，與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點C（2，n）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖2，在y軸上取點D（0，3），點E為直線x=1上的一動點，則x軸上是否存在一點F，使D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最��？若存在，求出這個最小值及點E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，將直線y=-x向上平移，與坐標(biāo)軸分別交于點P、Q，與（x＞0）相交于點M、N，若MN=5PM，求直線PQ的解析式．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把（-1，0）、B（0，1）代入得，解得，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
把點C（2，n）代入y=x+1得n=2+1=3，
∴C點坐標(biāo)為（2，3），
把點C（2，3）代入y=得k=2×3=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）存在．
作B點關(guān)于x軸的對稱點B′，則B′（0，-1），連結(jié)CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，如圖2，
∵D（0，3），C（2，3），
∴點D與點C關(guān)于直線x=1對稱，
∴ED=EC，
∵B點關(guān)于x軸的對稱點B′，
∴FB=FB′，
∴此時D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長最小，最小值=BD+BF+FE+EC=BD+B′C=2+=2+2；
設(shè)直線CB′的解析式為y=mx+n，
把C（2，3）、B′（0，-1）代入，解得，
∴直線CB′的解析式為y=2x-1，
當(dāng)x=1時，則y=2-1=1；當(dāng)y=0時，2x-1=0，解得x=，
∴點E坐標(biāo)為（1，1），點F坐標(biāo)為（，0）；

（3）過點M、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，如圖3，
∵OP∥MH∥NG，
∴OH：HG=MP：MN，
而MN=5PM，
∴HG=5OH，
設(shè)M點坐標(biāo)為（t，），則N（6t，），
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+p，
∵M（t，），N（6t，）在直線PQ上，
∴，解得或（舍去），
∴直線PQ的解析式為y=-x+7．
分析：（1）先利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x+1，再把點C（2，n）代入y=x+1求出n，則C點坐標(biāo)為（2，3），然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式；
（2）作B點關(guān)于x軸的對稱點B′，則B′（0，-1），連結(jié)CB′交直線x=1于E點，x交軸于F，根據(jù)D點與C點坐標(biāo)得到點D與點C關(guān)于直線x=1對稱，則ED=EC，由B點關(guān)于x軸的對稱點B′得到FB=FB′，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時四邊形BFED的周長為D、B、F、E四點所圍成的四邊形周長的最小值，然后根據(jù)兩點之間的距離公式計算出CB′=2，從而得到最小周長=2+2；再待定系數(shù)法求出直線CB′的解析式為y=2x-1，則把x=1或y=0分別代入y=2x-1可得到E點和F點坐標(biāo)；
（3）過點M、N分別作x軸的垂線，垂足分別為點H、Q，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OH：HG=MP：MN，而MN=5PM，所以HG=5OH，設(shè)M點坐標(biāo)為（t，），則N（6t，），設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+p，然后M點、N點坐標(biāo)代入得到關(guān)于t與p的方程組，再解方程組即可．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和平行線分線段成比例定理；運用兩點之間線段最短解決最短路徑問題；熟練運用兩點間的距離公式計算線段的長．