Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線(xiàn)C1：y=x2+3先向右平移1個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到拋物線(xiàn)C2 ． C2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）求拋物線(xiàn)C2的解析式；
（2）若拋物線(xiàn)C2的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，與拋物線(xiàn)C2交于點(diǎn)D，與拋物線(xiàn)C1交于點(diǎn)E，連結(jié)AD、DB、BE、EA，請(qǐng)證明四邊形ADBE是菱形，并計(jì)算它的面積；
（3）若點(diǎn)F為對(duì)稱(chēng)軸DE上任意一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)C2上是否存在這樣的點(diǎn)G，使以O(shè)、B、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵將拋物線(xiàn)C1：y=x2+3先向右平移1個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到拋物線(xiàn)C2，

∴拋物線(xiàn)C1的頂點(diǎn)（0，3）向右平移1個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到（1，﹣4）．

∴拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．

∴拋物線(xiàn)C2的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，

即y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：證明：由x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣1，0），B（3，0），AB=4．

∵拋物線(xiàn)C2的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，﹣4），

∴CD=4．AC=CB=2．

將x=1代入y=x2+3得y=4，

∴E（1，4），CE=CD．

∴四邊形ADBE是平行四邊形．

∵ED⊥AB，

∴四邊形ADBE是菱形．

S菱形ADBE=2× ×AB×CE=2× ×4×4=16．

（3）

解：存在．分OB為平行四邊形的邊和對(duì)角線(xiàn)兩種情況：

①當(dāng)OB為平行四邊形的一邊時(shí)，如圖1，

設(shè)F（1，y），

∵OB=3，∴G1（﹣2，y）或G2（4，y）．

∵點(diǎn)G在y=x2﹣2x﹣3上，

∴將x=﹣2代入，得y=5；將x=4代入，得y=5．

∴G1（﹣2，5），G2（4，5）．

②當(dāng)OB為平行四邊形的一對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖2，

設(shè)F（1，y），OB的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥OB于點(diǎn)H，

∵OB=3，OC=1，∴OM= ，CM= ．

∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM= ．∴OH=2．

∴G3（2，﹣y）．

∵點(diǎn)G在y=x2﹣2x﹣3上，

∴將（2，﹣y）代入，得﹣y=﹣3，即y=3．

∴G3（2，﹣3）．

綜上所述，在拋物線(xiàn)C2上是否存在這樣的點(diǎn)G，使以O(shè)、B、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為G1（﹣2，5），G2（4，5），G3（2，﹣3）．

【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”，得出平移后解析式即可；（2）首先求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)得出AC=CB，CE=CD，進(jìn)而得出四邊形ADBE是平行四邊形以及四邊形ADBE是菱形，再利用三角形面積公式求出即可；（3）利用分OB為平行四邊形的邊和對(duì)角線(xiàn)兩種情況：①當(dāng)OB為平行四邊形的一邊時(shí)，②當(dāng)OB為平行四邊形的一對(duì)角線(xiàn)時(shí)分別得出即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小．