【題目】如圖,BD是矩形ABCD的一條對角線.

(1)BD的垂直平分線EF,分別交ADBC于點E,F,垂足為點O;(要求用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法)

(2)(1)中,連接BEDF,求證:四邊形DEBF是菱形

【答案】(1)作圖見解析;(2)證明見解析.

【解析】1)分別以B、D為圓心,以大于 的長為半徑四弧交于兩點,過兩點作直線即可得到線段BD的垂直平分線;(2)利用垂直平分線證得DEO≌△BFO即可證得EO=FO,進而利用菱形的判定方法得出結論.

本題解析: (1)如圖所示:EF即為所求;

(2)證明:如圖所示:∵四邊形ABCD為矩形,∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,

∵EF垂直平分線段BD,∴BO=DO,

在△DEO和三角形BFO中,

∴△DEO≌△BFO(ASA),∴EO=FO,

∴四邊形DEBF是平行四邊形,又∵EF⊥BD,

∴四邊形DEBF是菱形。

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