Question

如圖，已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．這條曲線是函數(shù)y=的圖象在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標(biāo)是（a、b），由點P向x軸、y軸作垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．
（1）點E坐標(biāo)是______，點F坐標(biāo)是______（用含a的代數(shù)式表示點E的坐標(biāo)，用含b的代數(shù)式表示點F的坐標(biāo)）
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用含a、b的代數(shù)式表示）；
（3）△AOF與△BOE是否相似？若相似，請證明；若不相似，請簡要說明理由．
（4）當(dāng)點P在曲線y=上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個角，并求出此角的大小，同時證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
點E的坐標(biāo)是（a，1-a），點F的坐標(biāo)是（1-b，b）；
故答案為：（a，1-a）；（1-b，b）；

（2）∵OA=OB=1，NF=1-b，EM=1-a，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=×1×1-×1×（1-a）-×1×（1-b）=；

（3）△AOF和△BEO一定相似，理由為：
證明：∵OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=-=a，
AF=BA-BF=-=b，
∵點P是函數(shù)y=圖象上任意一點，
∴b=-，即2ab=1，
∴a•b=1，又OB•OA=1，
∴AF•BE=OB•OA，即=，
∴△AOF∽△BEO；

（4）當(dāng)點P在曲線上移動時，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（3）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°．
分析：（1）由PM與x軸垂直，E在PM上，得到E的橫坐標(biāo)與P相同，同理F的縱坐標(biāo)與P相同，求出直線AB的解析式，將E的橫坐標(biāo)及F的縱坐標(biāo)分別代入，即可確定出E與F的坐標(biāo)；
（2）三角形EOF的面積=三角形AOB的面積-三角形BOF的面積-三角形AOE的面積，表示即可；
（3）根據(jù)題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對應(yīng)成比例即可；
（4）應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)外角關(guān)系可求∠EOF=45°是一定值，即解．
點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，外角性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．