【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為A(﹣2,0).
(1)求拋物線的解析式及它的對(duì)稱(chēng)軸;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式;
(3)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形?若存在,求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)y=-x2+x+4,x=3;(2)C(0,4);y=x+4.(3)Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-).
【解析】
試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式,利用配方法或利用公式x=求出對(duì)稱(chēng)軸方程;
(2)在拋物線解析式中,令x=0,可求出點(diǎn)C坐標(biāo);令y=0,可求出點(diǎn)B坐標(biāo).再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式;
(3)本問(wèn)為存在型問(wèn)題.若△ACQ為等腰三角形,則有三種可能的情形,需要分類(lèi)討論,逐一計(jì)算,避免漏解.
(1)∵拋物線y=-x2+bx+4的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,0),
∴-×(-2)2+b×(-2)+4=0,
解得:b=,
∴拋物線解析式為 y=-x2+x+4,
又∵y=-x2+x+4=-(x-3)2+,
∴對(duì)稱(chēng)軸方程為:x=3.
(2)在y=-x2+x+4中,令x=0,得y=4,
∴C(0,4);
令y=0,即-x2+x+4=0,整理得x2-6x-16=0,解得:x=8或x=-2,
∴A(-2,0),B(8,0).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,
把B(8,0),C(0,4)的坐標(biāo)分別代入解析式,得:
,
解得,
∴直線BC的解析式為:y=x+4.
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程為:x=3,
可設(shè)點(diǎn)Q(3,t),則可求得:
AC=,
AQ=,
CQ=.
i)當(dāng)AQ=CQ時(shí),有=,
25+t2=t2-8t+16+9,
解得t=0,
∴Q1(3,0);
ii)當(dāng)AC=AQ時(shí),有
t2=-5,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,
∴此時(shí)△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形;
iii)當(dāng)AC=CQ時(shí),有,
整理得:t2-8t+5=0,
解得:t=4±,
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為:Q2(3,4+),Q3(3,4-).
綜上所述,存在點(diǎn)Q,使△ACQ為等腰三角形,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為:Q1(3,0),Q2(3,4+),Q3(3,4-).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中,哪些是真命題?哪些是假命題?
(1)內(nèi)錯(cuò)角相等;
(2)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);
(3)若x=2,則x+1>1;
(4)不等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)應(yīng)改變方向;
(5)三角形兩邊之和大于第三邊.
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【題目】(7分)某產(chǎn)品每件的成本10元,試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)(元)與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量(件)之間的關(guān)系如下表:
/元 | 15 | 20 | 30 | … |
/件 | 25 | 20 | 10 | … |
且日銷(xiāo)售量(件)是銷(xiāo)售價(jià)(元)的一次函數(shù).
(1)求出日銷(xiāo)售量(件)與銷(xiāo)售價(jià)(元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)最大銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( 。
A. x2+x2=x4B. (x﹣y)2=x2﹣y2C. (﹣x)2x3=x5D. (x2y)3=x6y
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. 同旁內(nèi)角相等,兩直線平行B. 兩直線平行,同位角互補(bǔ)
C. 相等的角是對(duì)頂角D. 等角的余角相等
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一組數(shù)據(jù)6、7、x、10、5的眾數(shù)是7,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_____________ 。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)連接PO,PC,并將△POC沿y軸對(duì)折,得到四邊形.是否存在點(diǎn)P,使四邊形為菱形?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小軒從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象中,觀察得出了下面五條信息:
①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.
你認(rèn)為其中正確的信息是_______
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【題目】已知拋物線y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求證:它的圖象與x軸必有交點(diǎn),且過(guò)x軸上一定點(diǎn);
(2)這條拋物線與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,過(guò)(1) 中定點(diǎn)的直線L;y=x+k交y軸于點(diǎn)D,且AB=4,圓心在直線L上的⊙M為A、B兩點(diǎn),求拋物線和直線的關(guān)系式,弦AB與弧圍成的弓形面積.
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