【題目】如圖,在矩形ABCD中,已知AD>AB,在邊AD上取點E,連結(jié)CE,過點E作EF⊥CE,與邊AB的延長線交于點F.
(1)證明:△AEF∽△DCE.
(2)若AB=2,AE=3,AD=7,求線段AF的長.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD為矩形,

∴∠A=∠D=90°,

∵CE⊥EF,

∴∠AEF+∠DEC=90°,

又∵∠F+∠AEF=90°,

∴∠F=∠DEC,

∴△AEF∽△DCE


(2)解:∵四邊形ABCD為矩形,

∴DC=AB=2,

∵AE=3,AD=7,

∴ED=AD﹣AE=4,

∵△AEF∽△DCE,

,

∴AF=6.


【解析】(1)由四邊形ABCD為矩形,于是得到∠A=∠D=90°,根據(jù)垂直的定義得到∠AEF+∠DEC=90°,于是得到∠F=∠DEC,即可得到結(jié)論;(2)由四邊形ABCD為矩形,得到DC=AB=2,求出ED=AD﹣AE=4,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論.
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).

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