Question

11．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，以AD為直徑作⊙O，⊙O分別交AB、AC于E、F．
（1）求證：BE=CF；
（2）設AD、EF相交于G，若EF=8，⊙O的半徑為5，求DG的長．

Answer 1

分析 （1）連接DE，DF，由AB=AC，且AD為BC邊上的高，利用三線合一得到D為BC的中點，AD為頂角平分線，再由AD為圓O的直徑，利用直角所對的角為直角得到一對直角相等，利用AAS得到三角形EBD與三角形FCD全等，由全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，得證；
（2）由（1）AB=AC，BE=CF知AE=AF，又∠BAD=∠CAD根據等腰三角形三線合一知AD垂直平分EF；連接OE，設DG=x，分別表示出OE、OG、EF的長，根據勾股定理可得x的值．

解答 解：（1）證明：如圖，

連接DE、DF、OE，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠B=∠C，BD=CD，∠BAD=∠CAD
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠DEA=∠DFA=90°，
在△DBE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD}\\{∠B=∠C}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴BE=CF；
（2）∵AB=AC，BE=CF，
∴AE=AF，
∵∠BAD=∠CAD，EF=8
∴AD⊥EF，EG=FG=$\frac{1}{2}$EF=4，
設DG=x，
∵⊙O的半徑為5，
∴OE=5，OG=5-x，
在RT△OEG中，∵OE²=EG²+OG²，
∴5²=4²+（5-x）²，
解得：x₁=2，x₂=8（舍去）．
故DG的長為2．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理，以及等腰三角形的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．