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【題目】如圖,已知拋物線x軸負半軸相交于點A,與y軸正半軸相交于點B,直線lA、B兩點,點D為線段AB上一動點,過點D軸于點C,交拋物線于點E

1)求拋物線的解析式;

2)若拋物線與x軸正半軸交于點F,設點D的橫坐標為x,四邊形FAEB的面積為S,請寫出Sx的函數關系式,并判斷S是否存在最大值,如果存在,求出這個最大值;并寫出此時點E的坐標;如果不存在,請說明理由.

3)連接BE,是否存在點D,使得相似?若存在,求出點D的坐標;若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2)x的函數關系式為,S存在最大值,最大值為18,此時點E的坐標為.(3)存在點D,使得相似,此時點D的坐標為

【解析】

利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點A、B的坐標,結合即可得出關于a的一元一次方程,解之即可得出結論;

由點A、B的坐標可得出直線AB的解析式待定系數法,由點D的橫坐標可得出點D、E的坐標,進而可得出DE的長度,利用三角形的面積公式結合即可得出S關于x的函數關系式,再利用二次函數的性質即可解決最值問題;

、,利用相似三角形的判定定理可得出:若要相似,只需,設點D的坐標為,則點E的坐標為,進而可得出DE、BD的長度時,利用等腰直角三角形的性質可得出,進而可得出關于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結論;時,由點B的縱坐標可得出點E的縱坐標為4,結合點E的坐標即可得出關于m的一元二次方程,解之取其非零值即可得出結論綜上即可得出結論.

時,有,

解得:,

A的坐標為

時,,

B的坐標為

,解得:,

拋物線的解析式為

A的坐標為,點B的坐標為,

直線AB的解析式為

D的橫坐標為x,則點D的坐標為,點E的坐標為

如圖

F的坐標為,點A的坐標為,點B的坐標為

,,,

,

時,S取最大值,最大值為18,此時點E的坐標為,

x的函數關系式為,S存在最大值,最大值為18,此時點E的坐標為

,

若要相似,只需如圖

設點D的坐標為,則點E的坐標為,

,

時,

,

為等腰直角三角形.

,即,

解得:舍去,,

D的坐標為;

時,點E的縱坐標為4,

,

解得:舍去,

D的坐標為

綜上所述:存在點D,使得相似,此時點D的坐標為

故答案為:(1;(2x的函數關系式為,S存在最大值,最大值為18,此時點E的坐標為.(3)存在點D,使得相似,此時點D的坐標為

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