Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，每個小方格的邊長為1個單位長度．正方形ABCD頂點都在格點上，其中，點A的坐標為（1，1）．
（1）若將正方形ABCD繞點A順時針方向旋轉90°，點B到達點B₁，點C到達點C₁，點D到達點D₁，求點B₁、C₁、D₁的坐標．
（2）若線段AC₁的長度與點D₁的橫坐標的差恰好是一元二次方程x²+ax+1=0的一個根，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格特點，分別找出旋轉后的點B₁、C₁、D₁的位置，然后順次連接即可得到旋轉后的正方形，然后利用平面直角坐標系寫出點的坐標；
（2）先利用勾股定理求出AC₁的長度，與點D₁的橫坐標的差后代入一元二次方程求解關于a的一元一次方程即可．

解答：解：（1）如圖，B₁、C₁、D₁的坐標分別為：
B₁（2，-1），C₁（4，0），D₁（3，2）；

（2）根據(jù)勾股定理，AC₁=

32+12

=

10

，
∴線段AC₁的長度與點D₁的橫坐標的差是

10

-3，
∴（

10

-3）²+（

10

-3）a+1=0，
整理，10-6

10

+9+（

10

-3）a+1=0，
∴（

10

-3）a=-20+6

10

，
解得a=-2

10

．
故答案為：（1）B₁（2，-1），C₁（4，0），D₁（3，2）；（2）a=-2

10

．

點評：本題考查了利用旋轉作圖，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及一元二次方程的解的知識，難度不大，能根據(jù)平面直角坐標系找出點的坐標是關鍵．