Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）．（2）.

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)A在一次函數(shù)圖象上，結(jié)合一次函數(shù)解析式可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)B坐標(biāo)；

（2）作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，連接PB．由點(diǎn)B、D的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)找出點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，結(jié)合點(diǎn)A、D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，令直線AD的解析式中y=0求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再通過分割圖形結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+4，

得：a=-1+4，解得：a=3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．

把點(diǎn)A（1，3）代入反比例函數(shù)y=，

得：3=k，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y=，

聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式成方程組得： ，

解得： ，或，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）．

（2）作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，連接PB，如圖所示．

∵點(diǎn)B、D關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，- 1）．

設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，

把A，D兩點(diǎn)代入得： ，

解得： ，

∴直線AD的解析式為y=-2x+5．

令y=-2x+5中y=0，則-2x+5=0，

解得：x=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．

S△PAB=S△ABD-S△PBD=BD（xB-xA）-BD（xB-xP）

=×[1-（-1）]×（3-1）-×[1-（-1）]×（3-）

=．