【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k與直線y=kx+1交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè).

(1)如圖1,當k=1時,直接寫出A,B兩點的坐標;
(2)在(1)的條件下,點P為拋物線上的一個動點,且在直線AB下方,試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)如圖2,拋物線y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)與x軸交于點C、D兩點(點C在點D的左側(cè)),在直線y=kx+1上是否存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°?若存在,請求出此時k的值;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:當k=1時,拋物線解析式為y=x2﹣1,直線解析式為y=x+1.

聯(lián)立兩個解析式,得:x2﹣1=x+1,

解得:x=﹣1或x=2,

當x=﹣1時,y=x+1=0;當x=2時,y=x+1=3,

∴A(﹣1,0),B(2,3)


(2)

解:方法一:

設P(x,x2﹣1).

如答圖2所示,過點P作PF∥y軸,交直線AB于點F,則F(x,x+1).

∴PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.

SABP=SPFA+SPFB= PF(xF﹣xA)+ PF(xB﹣xF)= PF(xB﹣xA)= PF

∴S△ABP= (﹣x2+x+2)=﹣ (x﹣ 2+

當x= 時,yP=x2﹣1=﹣

∴△ABP面積最大值為 ,此時點P坐標為( ,﹣

方法二:

過點P作x軸垂線,叫直線AB于F,

設P(t,t2﹣1),則F(t,t+1)

∴SABP= (FY﹣PY)(BX﹣AX),

∴SABP= (t+1﹣t2+1)(2+1),

∴SABP=﹣ t2+ t+3,

當t= 時,SABP有最大值,∴SABP=


(3)

解:方法一:

設直線AB:y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F,

則E(﹣ ,0),F(xiàn)(0,1),OE= ,OF=1.

在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF= =

令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.

∴C(﹣k,0),OC=k.

(i)假設存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,如答圖3所示,

則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q,根據(jù)圓周角定理,此時∠OQC=90°.

設點N為OC中點,連接NQ,則NQ⊥EF,NQ=CN=ON=

∴EN=OE﹣ON=

∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,

∴△EQN∽△EOF,

,即: ,

解得:k=± ,

∵k>0,

∴k=

∴存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,此時k=

(ii)若直線AB過點C時,此時直線與圓的交點只有另一點Q點,故亦存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,

將C(﹣k,0)代入y=kx+1中,

可得k=1,k=﹣1(舍去),

故存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°,此時k=1.

綜上所述,k= 或1時,存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°.

方法二:

∵y=x2+(k﹣1)x﹣k,

∴y=(x+k)(x﹣1),

當y=0時,x1=﹣k,x2=1,

∴C(﹣k,0),D(1,0),

點Q在y=kx+1上,設Q(t,kt+1),O(0,0),

∵∠OQC=90°,∴CQ⊥OQ,∴KCQ×KOQ=﹣1,

∴(k2+1)t2+3kt+1=0有唯一解,

∴△=(3k)2﹣4(k2+1)=0,

∴k1= ,k2=﹣ (k>0故舍去),∴k=


【解析】方法一:(1)當k=1時,聯(lián)立拋物線與直線的解析式,解方程求得點A、B的坐標;(2)如答圖2,作輔助線,求出△ABP面積的表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值及點P的坐標;(3)“存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°”的含義是,以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q,由圓周角定理可知,此時∠OQC=90°且點Q為唯一.以此為基礎,構(gòu)造相似三角形,利用比例式列出方程,求得k的值.需要另外注意一點是考慮直線AB是否與拋物線交于C點,此時亦存在唯一一點Q,使得∠OQC=90°.方法二:(1)聯(lián)立直線與拋物線方程求出點A,B坐標.(2)利用面積公式求出P點坐標.(3)列出定點O坐標,用參數(shù)表示C,Q點坐標,利用黃金法則二求出k的值.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.

練習冊系列答案
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