Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形OABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B 的坐標(biāo)分別A（ ，0）、B（ ，2），∠CAO=30°．

（1）求對(duì)角線AC所在的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)O落在平面上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以A、O、D、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得，OA=2 ，∠CAO=30°，

則OC=OAtan∠CAO=2，

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，將點(diǎn)A及點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得： ，

解得： ，

故直線AC的函數(shù)表達(dá)式為：y= x+2

（2）

解：過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，

∵∠CAO=30°，

∴∠DAE=60°，

又∵AD=AO=2 ，

∴DE=3，AE= ，

∴OE= ，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣ ，3）

（3）

解：

①當(dāng)AD為平行四邊形的一邊時(shí)，點(diǎn)P的位置有兩個(gè)，分別為P1、P2，

當(dāng)點(diǎn)P位于P1位置時(shí)，DP1=AO，

此時(shí)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，3）；

當(dāng)點(diǎn)P位于P2位置時(shí)，

∵OD=AD，△AOD是等邊三角形，

∴點(diǎn)P2與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，

此時(shí)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣3）；

②當(dāng)AD為平行四年行的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P的位置有一個(gè)，在P3的位置，

此時(shí)DP3=AO，

故可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3 ，3）．

綜上可得存在點(diǎn)P的坐標(biāo)，使得以A、O、D、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ，3）或（﹣ ，﹣3）或（﹣3 ，3）

【解析】（1）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）過點(diǎn)D作DE⊥OA于點(diǎn)E，利用三角函數(shù)的知識(shí)，求出DE及OE的長度，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）找到點(diǎn)P的可能位置，利用平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法才能正確解答此題．