Question

【題目】如圖，已知直線y=kx﹣6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（1，﹣4）為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，且△ABQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（1，﹣4）代入y=kx﹣6，得k=2，

∴y=2x﹣6，

令y=0，解得：x=3，

∴B的坐標(biāo)是（3，0）．

∵A為頂點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析為y=a（x﹣1）2﹣4，

把B（3，0）代入得：4a﹣4=0，

解得a=1，

∴y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3

（2）

解：存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當(dāng)∠POB=∠POC時(shí)，△POB≌△POC，

此時(shí)PO平分第二象限，即PO的解析式為y=﹣x．

設(shè)P（m，﹣m），則﹣m=m2﹣2m﹣3，解得m= （m= ＞0，舍），

∴P（ ， ）

（3）

解：①當(dāng)∠Q1AB=90°時(shí)，△DAQ1∽△DOB，

∴ = ，即 = ，∴DQ1= ，

∴OQ1= ，即Q1（0， ）；

②當(dāng)∠Q2BA=90°時(shí)，△BOQ2∽△DOB，

∴ = ，即 = ，

∴OQ2= ，即Q2（0， ）；

③當(dāng)∠AQ3B=90°時(shí)，作AE⊥y軸于E，

則△BOQ3∽△Q3EA，

∴ = ，即 = ，

∴OQ32﹣4OQ3+3=0，∴OQ3=1或3，

即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．

綜上，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ）或（0 ）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

【解析】（1）已知點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線AB的解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，那么可以將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，依據(jù)待定系數(shù)法可解．（2）首先由拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在△POB和△POC中，已知的條件是公共邊OP，若OB與OC不相等，那么這兩個(gè)三角形不能構(gòu)成全等三角形；若OB等于OC，那么還要滿足的條件為：∠POC=∠POB，各自去掉一個(gè)直角后容易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P正好在第二象限的角平分線上，聯(lián)立直線y=﹣x與拋物線的解析式，直接求交點(diǎn)坐標(biāo)即可，同時(shí)還要注意點(diǎn)P在第二象限的限定條件．（3）分別以A、B、Q為直角頂點(diǎn)，分類進(jìn)行討論．找出相關(guān)的相似三角形，依據(jù)對應(yīng)線段成比例進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．