【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和圖形,給出如下定義:若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn),使得是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,則稱(chēng)點(diǎn)是圖形的一個(gè)和諧點(diǎn)

已知直線軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)的半徑為

1)若,在點(diǎn)中,直線的和諧點(diǎn)是___________;

2)若上恰好存在2個(gè)直線的和諧點(diǎn),求的取值范圍;

3)若,線段上存在的和諧點(diǎn),直接寫(xiě)出的取值范圍.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)結(jié)合定義,畫(huà)圖可知,當(dāng)直線上的兩點(diǎn)O,SST構(gòu)成等邊三角形,直線的和諧點(diǎn)是

2)由等邊三角形的特征及直線,結(jié)合圖形及對(duì)稱(chēng)性數(shù)形結(jié)合即可求解;

3)結(jié)合圖形構(gòu)造等邊三角形知:分,而為定值,故關(guān)鍵求的取值范圍即可,進(jìn)一步畫(huà)圖可知當(dāng)時(shí),最小,當(dāng)的和諧點(diǎn)恰好是點(diǎn)(即點(diǎn)與點(diǎn)重合)時(shí),最大,分別計(jì)算即可得到的取值范圍

解:(1)直線的和諧點(diǎn)是; 如圖所示:

2)如圖,設(shè)在直線上,點(diǎn)上,是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

,當(dāng)直線位于時(shí),上只有1個(gè)點(diǎn)是直線的和諧點(diǎn),

當(dāng)直線位于時(shí),上有3個(gè)點(diǎn)都是直線的和諧點(diǎn),

滿(mǎn)足條件的直線應(yīng)位于直線之間.

設(shè)過(guò)點(diǎn)且與相切的直線為,直線分別與軸,軸交于點(diǎn).連接,則.取中點(diǎn),連接,則,且三點(diǎn)共線,

直線軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),

,

,

中,

,

,

,

由對(duì)稱(chēng)性得,即,

的取值范圍是

3的取值范圍是

詳解如下:

如圖,設(shè)上,上的點(diǎn),是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,

設(shè)的中點(diǎn)為,則三點(diǎn)共線,

,

(圖1),或(圖2),而為定值,

只需考慮的取值范圍即可.

如圖3,當(dāng)時(shí),最小,此時(shí)的半徑最。

,

,

中,,

如圖4,當(dāng)的和諧點(diǎn)恰好是點(diǎn)(即點(diǎn)與點(diǎn)重合)時(shí),最大,此時(shí)的半徑最大,

,

,

,

綜上,的取值范圍是

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖1,拋物線與直線l交于x軸上的一點(diǎn)A,和另一點(diǎn)

求拋物線的解析式;

點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)PA,B兩點(diǎn)之間,但不包括AB兩點(diǎn)于點(diǎn)M,軸交AB于點(diǎn)N,求MN的最大值;

如圖2,將拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,再作適當(dāng)平移得到拋物線,已知拋物線的頂點(diǎn)E在第一象限的拋物線上,且拋持線與拋物線交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D軸交拋物線于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E軸交拋物線于點(diǎn)G,是否存在這樣的拋物線,使得四邊形DFEG為菱形?若存在,請(qǐng)求E點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線,若與坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長(zhǎng)與面積相等,則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為“美好點(diǎn)”,如圖,過(guò)點(diǎn)P分別作x軸,y軸的垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形OAPB的周長(zhǎng)與面積相等,則P為“美好點(diǎn)”.

1)在點(diǎn)M22),N4,4),Q(﹣63)中,是“美好點(diǎn)”的有   

2)若“美好點(diǎn)”Pa,﹣3)在直線yx+bb為常數(shù))上,求ab的值;

3)若“美好點(diǎn)”P恰好在拋物線yx2第一象限的圖象上,在x軸上是否存在一點(diǎn)Q使得△POQ為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某年級(jí)共有 150 名女生,為了解該年級(jí)女生實(shí)心球成績(jī)(單位:米)和一分鐘仰臥起坐成績(jī)(單位:個(gè))的情況,從中隨機(jī)抽取 30 名女生進(jìn)行測(cè)試,獲得了她們的相關(guān)成績(jī),并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理,下面給出了部分信息.

a.實(shí)心球成績(jī)的頻數(shù)分布如表所示:

b.實(shí)心球成績(jī)?cè)?/span> 7.0≤x7.4 這一組的是:7.07.0,7.0,7.17.1,7.1,7.27.2,7.3,7.3

c.一分鐘仰臥起坐成績(jī)?nèi)鐖D所示:

根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:

1)①表中 m 的值為 ;②一分鐘仰臥起坐成績(jī)的中位數(shù)為 ;

2)若實(shí)心球成績(jī)達(dá)到 7.2 米及以上時(shí),成績(jī)記為優(yōu)秀.

①請(qǐng)估計(jì)全年級(jí)女生實(shí)心球成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù);

②該年級(jí)某班體育委員將本班在這次抽樣測(cè)試中被抽取的 8 名女生的兩項(xiàng)成績(jī)的數(shù)據(jù)抄錄如表所示:

其中有 3 名女生的一分鐘仰臥起坐成績(jī)未抄錄完整,但老師說(shuō)這 8 名女生中恰好有4 人兩項(xiàng)測(cè)試成績(jī)都達(dá)到了優(yōu)秀,于是體育委員推測(cè)女生 E 的一分鐘仰臥起坐成績(jī)達(dá)到了優(yōu)秀,你是否同意體育委員的說(shuō)法? (填).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線軸交于點(diǎn),與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)

1)求的值及點(diǎn)的坐標(biāo);

2)若點(diǎn)軸上一點(diǎn),且,直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,AB為O的直徑,AC、DC為弦,ACD=60°,P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),APD=30°.

(1)求證:DP是O的切線;

(2)若O的半徑為3cm,求圖中陰影部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某市在黨中央實(shí)施精準(zhǔn)扶貧政策的號(hào)召下,大力開(kāi)展科技扶貧工作,幫助農(nóng)民組建農(nóng)副產(chǎn)品銷(xiāo)售公司,某農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過(guò)100萬(wàn)件,該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分(如圖①所示);該產(chǎn)品的銷(xiāo)售單價(jià)z(元/件)與年銷(xiāo)售量x(萬(wàn)件)之間的函數(shù)圖象是如圖②所示的一條線段,生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷(xiāo)售完,達(dá)到產(chǎn)銷(xiāo)平衡,所獲毛利潤(rùn)為w萬(wàn)元.(毛利潤(rùn)=銷(xiāo)售額﹣生產(chǎn)費(fèi)用)

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出yx以及zx之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求wx之間的函數(shù)關(guān)系式;并求年產(chǎn)量多少萬(wàn)件時(shí),所獲毛利潤(rùn)最大?最大毛利潤(rùn)是多少?

(3)由于受資金的影響,今年投入生產(chǎn)的費(fèi)用不會(huì)超過(guò)360萬(wàn)元,今年最多可獲得多少萬(wàn)元的毛利潤(rùn)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】今年的新冠疫情爆發(fā),使很多農(nóng)作物積壓沒(méi)法正常銷(xiāo)售。為解決農(nóng)民的困難,我市某食品加工公司主動(dòng)分兩次采購(gòu)了一批竹筍, 第一次花費(fèi)40萬(wàn)元,第二次花費(fèi)60萬(wàn)元。已知第一次采購(gòu)時(shí)每百千克竹筍的價(jià)格比去年的平均價(jià)格上漲了500元,第二次采購(gòu)時(shí)每百千克竹筍的價(jià)格比去年的平均價(jià)格下降了500元,第二次的采購(gòu)數(shù)量是第一次采購(gòu)數(shù)量的兩倍.

1)試問(wèn)去年每百千克竹筍的平均價(jià)格是多少元;

2)該公司可將竹筍加工成筍干或罐頭(濕筍),若單獨(dú)加工成筍干,每天可加工8百千克竹筍,每百千克竹筍獲利1000元; 若單獨(dú)加工成罐頭,每天可加工12百千克竹筍,每百千克竹筍獲利600元,由于市場(chǎng)需要,所有采購(gòu)的竹筍必需在30天內(nèi)加工完畢,且加工筍干的竹筍數(shù)量不少于加工罐頭的竹筍數(shù)量的一半,為獲得最大利潤(rùn),應(yīng)將多少百千克竹筍加工成筍干?最大利潤(rùn)為多少.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】教育未來(lái)指數(shù)是為了評(píng)估教育系統(tǒng)在培養(yǎng)學(xué)生如何應(yīng)對(duì)快速多變的未來(lái)社會(huì)方面所呈現(xiàn)的效果.現(xiàn)對(duì)教育未來(lái)指數(shù)得分前35名的國(guó)家和地區(qū)的有關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行收集、整理、描述和分析后,給出了部分信息.

a.教育未來(lái)指數(shù)得分的頻數(shù)分布直方圖(數(shù)據(jù)分成7組:,,,,,,);

b.教育未來(lái)指數(shù)得分在這一組的是:61.2 62.8 64.6 65.2 67.2 67.3 67.5 68.5

c35個(gè)國(guó)家和地區(qū)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來(lái)指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖如下:



d.中國(guó)和中國(guó)香港的教育未來(lái)指數(shù)得分分別為32.968.5

(以上數(shù)據(jù)來(lái)源于《國(guó)際統(tǒng)計(jì)年鑒(2018)》和國(guó)際在線網(wǎng))

根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:

1)中國(guó)香港的教育未來(lái)指數(shù)得分排名世界第______;

2)在35個(gè)國(guó)家和地區(qū)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值和教育未來(lái)指數(shù)得分情況統(tǒng)計(jì)圖中,包括中國(guó)香港在內(nèi)的少數(shù)幾個(gè)國(guó)家和地區(qū)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛線l的上方,請(qǐng)?jiān)趫D中用“○”畫(huà)出代表中國(guó)香港的點(diǎn);

3)在教育未來(lái)指數(shù)得分比中國(guó)高的國(guó)家和地區(qū)中,人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的最大值約為_____萬(wàn)美元;(結(jié)果保留一位小數(shù))

4)下列推斷合理的是__________.(只填序號(hào)即可)

①相較于點(diǎn)所代表的國(guó)家和地區(qū),中國(guó)的教育未來(lái)指數(shù)得分還有一定差距,十三五規(guī)劃提出教育優(yōu)先發(fā)展,教育強(qiáng)則國(guó)家強(qiáng)的任務(wù),進(jìn)一步提高國(guó)家教育水平;

②相較于點(diǎn)所代表的國(guó)家和地區(qū),中國(guó)的人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值還有一定差距,中國(guó)提出決勝全面建成小康社會(huì)的奮斗目標(biāo),進(jìn)一步提高人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.

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