Question

【題目】如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在BE的延長線上，AD⊥BE。

（1）求證：∠DAE+∠ABE=45°

（2）若BE＝6，求AD的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝3．

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)進行證明；

（2）延長AD、BC交于點F，由BD⊥AD且BD平分∠ABC 可得AD＝FD，再根據(jù)∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°，進一步證明△AFC≌△BEC，則可得AF＝BE，從而得到AD＝BE．

（1）證明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

又∵BE平分∠ABC交AC于E，

∴∠CBE＝∠ABE，

∵AD⊥BE，

∴∠DAE＋∠CAB＋∠ABE＝90°，即∠DAE＋∠ABE＋45°＝90°，

∴∠DAE＋∠ABE＝45°；

（2）解：如圖，延長AD、BC交于點F，

∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，

∴AD＝FD，

∵∠FAC＋∠AED＝90°，∠CBE＋∠CEB＝90°，

∴∠FAC＝∠CBE，

在△AFC和△BEC中，，

∴△AFC≌△BEC（ASA），

∴AF＝BE，

∴AD＝AF＝BE＝3．