Question

（2006•河北）圖1至圖7的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網(wǎng)格（每個(gè)小方格的邊長均為1個(gè)單位長），其對稱中心為點(diǎn)O．
如圖1，有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點(diǎn)O，它每秒1個(gè)單位長的速度由起始位置向外擴(kuò)大（即點(diǎn)O不動(dòng)，正方形EFGH經(jīng)過一秒由6×6擴(kuò)大為8×8；再經(jīng)過一秒，由8×8擴(kuò)大為10×10；…），直到充滿正方形ABCD，再以同樣的速度逐步縮小到起始時(shí)的大小，然后一直不斷地以同樣速度再擴(kuò)大、再縮小．
另有一個(gè)邊長為6個(gè)單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始，以每秒1個(gè)單位長的速度，沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按A?B?C?D?A移動(dòng)（即正方形MNPQ從點(diǎn)P與點(diǎn)A重合位置開始，先向左平移，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，再向上平移，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，再向右平移，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，再向下平移，到達(dá)起始位置后仍繼續(xù)按上述方式移動(dòng)）．
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，它們的重疊部分面積為y個(gè)平方單位．
（1）請你在圖2和圖3中分別畫出x為2秒、18秒時(shí)，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分（重疊部分用陰影表示），并分別寫出重疊部分的面積；
（2）①如圖4，當(dāng)1≤x≤3.5時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖5，當(dāng)3.5≤x≤7時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
③如圖6，當(dāng)7≤x≤10.5時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
④如圖7，當(dāng)10.5≤x≤13時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）對于正方形MNPQ在正方形ABCD各邊上移動(dòng)一周的過程，請你根據(jù)重疊部分面積y的變化情況，指出y取得最大值和最小值時(shí)，相對應(yīng)的x的取值情況，并指出最大值和最小值分別是多少．（說明：問題（3）是額外加分題，加分幅度為1～4分）

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x=2時(shí)，Q離AD的距離為6+2=8，而G離AD的距離為7-2=5，因此重合部分的長為3．同理可求得重合部分的寬為1，因此y=3．
當(dāng)x=18時(shí)，正方形MNPQ走完AB需14秒，因此x=18時(shí)，正方形MNPQ在BC邊上運(yùn)動(dòng)了4秒，而正方形EHFG擴(kuò)張到最大需7秒再縮小到原來的大小需7秒，因此x=18時(shí)，正方形EHFG重復(fù)第二次運(yùn)動(dòng)，且第二次運(yùn)動(dòng)過程中運(yùn)動(dòng)了4秒，因此MN離AB的距離為6+4=10，OP離AB的距離為4，因此重合部分的長為6，同理可求得重合部分的寬為3，y=3×6=18．
（2）①當(dāng)1≤x≤3.5時(shí)，是正方形EHGF第一次向外擴(kuò)張的過程，此時(shí)MK=x+6，SK=7-x，因此MS=2x-1．同理可求得SG的長，由此可得出重合部分的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)3.5≤x≤7時(shí)，正方形EHGF第一次向內(nèi)收縮，此時(shí)重合部分的長不變?yōu)镸N的長即6，而EQ=x，NP=6，因此重合部分的寬為6-x，由此可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)7≤x≤10.5時(shí)，正方形EHGF第二次向外擴(kuò)張，此時(shí)重合部分的寬仍為MN的長即6，MQ=6，TQ=x-7，因此MT=13-x，由此可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
④當(dāng)10.5≤x≤13時(shí)，正方形EHGF第二次向內(nèi)收縮，解法參照①．
（3）根據(jù)②中x不同區(qū)間的y的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)各函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求出y的最大或最小值．
解答：解：（1）相應(yīng)的圖形如圖1，2．
當(dāng)x=2時(shí)，y=3；
當(dāng)x=18時(shí)，y=18．


（2）①當(dāng)1≤x≤3.5時(shí)，如圖3，
延長MN交AD于K，
設(shè)MN與HG交于S，MQ與FG交于T，則MK=6+x，SK=TQ=7-x，從而MS=MK-SK=2x-1，MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
∴y=MT•MS=（x-1）（2x-1）=2x²-3x+1．
②當(dāng)3.5≤x≤7時(shí)，如圖4，
設(shè)FG與MQ交于T，則
TQ=7-x，
∴MT=MQ-TQ=6-（7-x）=x-1．
∴y=MN•MT=6（x-1）=6x-6．
③當(dāng)7≤x≤10.5時(shí)，如圖5，
設(shè)FG與MQ交于T，則
TQ=x-7，
∴MT=MQ-TQ=6-（x-7）=13-x．
∴y=MN•MT=6（13-x）=78-6x．
④當(dāng)10.5≤x≤13時(shí)，如圖6，
設(shè)MN與EF交于S，NP交FG于R，延長NM交BC于K，則MK=14-x，SK=RP=x-7，
∴SM=SK-MK=2x-21，從而SN=MN-SM=27-2x，NR=NP-RP=13-x．
∴y=NR•SN=（13-x）（27-2x）=2x²-53x+351．

（3）對于正方形MNPQ，
①在AB邊上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)0≤x≤1及13≤x≤14時(shí)，y取得最小值0；
當(dāng)x=7時(shí)，y取得最大值36．
②在BC邊上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)14≤x≤15及27≤x≤28時(shí)，y取得最小值0；
當(dāng)x=21時(shí)，y取得最大值36．
③在CD邊上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)28≤x≤29及41≤x≤42時(shí)，y取得最小值0；
當(dāng)x=35時(shí)，y取得最大值36．
④在DA邊上移動(dòng)時(shí)，當(dāng)42≤x≤43及55≤x≤56時(shí)，y取得最小值0；
當(dāng)x=49時(shí)，y取得最大值36．
點(diǎn)評：本題為壓軸題有一定難度，但難題也分層次性設(shè)計(jì)，只要平時(shí)多加積累解題經(jīng)驗(yàn)，探解題規(guī)律，一定會有很大收獲．
命題立意：考查解決大綜合題的數(shù)學(xué)能力．