Question

（2007•安溪縣質(zhì)檢）如圖，有一塊半徑為5cm的半圓形鋼板，計(jì)劃截成等腰梯形ABCD的形狀，他的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．
（1）若等腰梯形ABCD的高為4cm時(shí)，求梯形的上底DC的長；
（2）寫出這個(gè)等腰梯形周長y（cm）和腰長x（cm）間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）若腰長x（cm）限定為2≤x≤6時(shí)，分別求出等腰梯形ABCD周長的最大、最小值．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB，CF⊥AB，連接OD，由題意可知四邊形DEFC為矩形，利用勾股定理求出OE和OF的值，即EF的值，進(jìn)而DC可求出；
（2）連接BD，根據(jù)相似關(guān)系求出AE，而CD=AB-2AE，從而求出梯形ABCD的周長y與腰長x間的函數(shù)解析式，根據(jù)AD＞0，AE＞0，CD＞0可求出x的取值范圍；
（3）利用二次函數(shù)在給定范圍上求出最值的知識(shí)可求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB，CF⊥AB，連接OD，
∴ED=4cm，OD=5cm，
∴OE=

5 2-4 2

=3cm，
同理可求OF=3cm，
∴EF=6cm，
∵四邊形DEFC為矩形，
∴DC=EF=6cm；

（2）如圖，作DE⊥AB于E，連接BD．
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
∴Rt△ADB∽R(shí)t△AED，
∴

AD

AB

=

AE

AD

，即 AE=

AD2

AB

．
又AD=x，AB=10，
∴AE=

x 2

10

cm，
∴CD=AB-2AE=10-2×

x 2

10

=（10-

x 2

5

）cm，
∴y=AB+BC+CD+AD=10+x+10-

x 2

5

+x=-

1

5

x 2+2x+20，
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，

x 2

5

＞0，10-

x 2

5

＞0，
解得：0＜x＜5

2

；

（3）∵y=-

1

5

x 2+2x+20=-

1

5

（x-5）²+25，
又∵2≤x≤6，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值25cm；
當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值23.2cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的解析式求函數(shù)的最值時(shí)，通常用配方法解答；本題有一定的難度．