Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B（0，m)、C（0，n)兩點(diǎn)，且m、n（m>n)滿足方程組的解.

（1）求證：AC⊥AB；

（2）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在直線BD上尋找點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）

【解析】

（1）先解方程組得出m和n的值，從而得到B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)算出AB2，BC2，AC2，利用勾股定理的逆定理即可證明；

（2）過D作DF⊥y軸于F，根據(jù)題意得到BF=FC，F（0，1），設(shè)直線AC：y=kx+b，利用A和C的坐標(biāo)求出表達(dá)式，從而求出點(diǎn)D坐標(biāo)；

（3）分AB=AP，AB=BP，AP=BP三種情況，結(jié)合一次函數(shù)分別求解.

解：（1）∵，

得：，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA=，OB=3，OC=1，

∴AB2=AO2+BO2=12，AC2=AO2+OC2=4，BC2=16

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠BAC=90°，

即AC⊥AB；

（2）如圖1中，過D作DF⊥y軸于F．

∵DB=DC，△DBC是等腰三角形

∴BF=FC，F（0，1），

設(shè)直線AC：y=kx+b，

將A（﹣，0），C（0，﹣1）代入得：

直線AC解析式為：y=x-1，

將D點(diǎn)縱坐標(biāo)y=1代入y=x-1，

∴x=-2，

∴D的坐標(biāo)為（﹣2，1）；

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）

設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，

把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，

∴，

解得，

∴直線BD的解析式為：y=x+3，

令y=0，代入y=x+3，

可得：x=，∵OB=3，

∴BE=，

∴∠BEO=30°，∠EBO=60°

∵AB=，OA=，OB=3，

∴∠ABO=30°，∠ABE=30°，

當(dāng)PA=AB時(shí)，如圖2，

此時(shí)，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P與E重合，

∴P的坐標(biāo)為（﹣3，0），

當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖3，

此時(shí)，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，

令x=﹣，代入y=x+3，

∴y=2，

∴P（﹣，2），

當(dāng)PB=AB時(shí)，如圖4，

∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，

若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P1，過點(diǎn)P1作P1F⊥x軸于點(diǎn)F，

∴P1B=AB=2，

∴EP1=6﹣2，

∴FP1=3﹣，

令y=3﹣代入y=x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣），

若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P2，過點(diǎn)P2作P2G⊥x軸于點(diǎn)G，

∴P2B=AB=2，

∴EP2=6+2，

∴GP2=3+，

令y=3+代入y=x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+），

綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．