Question

如圖所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線AM交BC于點(diǎn)D（只保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作圖形中，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕EF交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接DE、DF，再展回到原圖形，得到四邊形AEDF．
①試說(shuō)明四邊形AEDF為平行四邊形；
②若AB=10，BC=8，在折痕EF上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PC+PD的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)作角平分線的作圖方法進(jìn)行；
（2）①根據(jù)對(duì)稱性，圍繞證明對(duì)角線互相平分找條件；②求線段和最小的問(wèn)題，P點(diǎn)的確定方法是：找D點(diǎn)關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)A，再連接AC，AC與直線EF的交點(diǎn)即為所求．

解答：解：（1）如圖所示．

（2）①由折疊可知，EF垂直平分AD于O點(diǎn)，
又∵AD平分∠BAC，
∴△AEO≌△AFO，OE=OF，
∴四邊形AEDF為平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．
②已知D點(diǎn)關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為A，AC與EF的交點(diǎn)E即為所求的P點(diǎn)，
PC+PD的最小值為：CP+DP=CE+DE=CE+AE=AC=

AB2-BC2

=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了尺規(guī)作圖的方法，折疊問(wèn)題以及平行四邊形的判定．解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后線段相等．