【題目】已知和都是等腰三角形,,,.
(初步感知)(1)特殊情形:如圖①,若點,分別在邊,上,則__________.(填>、<或=)
(2)發(fā)現(xiàn)證明:如圖②,將圖①中的繞點旋轉(zhuǎn),當(dāng)點在外部,點在內(nèi)部時,求證:.
(深入研究)(3)如圖③,和都是等邊三角形,點,,在同一條直線上,則的度數(shù)為__________;線段,之間的數(shù)量關(guān)系為__________.
(4)如圖④,和都是等腰直角三角形,,點、、在同一直線上,為中邊上的高,則的度數(shù)為__________;線段,,之間的數(shù)量關(guān)系為__________.
(拓展提升)(5)如圖⑤,和都是等腰直角三角形,,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn),連結(jié)、.當(dāng),時,在旋轉(zhuǎn)過程中,與的面積和的最大值為__________.
【答案】(1)=;(2)證明見解析;(3)60°,BD=CE;(4)90°,AM+BD=CM;(5)7
【解析】
(1)由DE∥BC,得到,結(jié)合AB=AC,得到DB=EC;
(2)由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC,得到DB=CE;
(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△DAB≌△EAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出結(jié)論;
(4)根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(5)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變,而在旋轉(zhuǎn)的過程中,△ADC的AC始終保持不變,即可.
[初步感知](1)∵DE∥BC,
∴,
∵AB=AC,
∴DB=EC,
故答案為:=,
(2)成立.
理由:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC,
在△DAB和△EAC中
,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴DB=CE;
[深入探究](3)如圖③,設(shè)AB,CD交于O,
∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,
∴AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠DAB=∠EAC,
在△DAB和△EAC中
,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴DB=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠BOD=∠AOC,
∴∠BDC=∠BAC=60°;
(4)∵△DAE是等腰直角三角形,
∴∠AED=45°,
∴∠AEC=135°,
在△DAB和△EAC中
,
∴△DAB≌△EAC(SAS),
∴∠ADB=∠AEC=135°,BD=CE,
∵∠ADE=45°,
∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°,
∵△ADE都是等腰直角三角形,AM為△ADE中DE邊上的高,
∴AM=EM=MD,
∴AM+BD=CM;
故答案為:90°,AM+BD=CM;
【拓展提升】
(5)如圖,
由旋轉(zhuǎn)可知,在旋轉(zhuǎn)的過程中△ADE的面積始終保持不變,
△ADE與△ADC面積的和達到最大,
∴△ADC面積最大,
∵在旋轉(zhuǎn)的過程中,AC始終保持不變,
∴要△ADC面積最大,
∴點D到AC的距離最大,
∴DA⊥AC,
∴△ADE與△ADC面積的和達到的最大為2+×AC×AD=5+2=7,
故答案為7.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=AC,D是斜邊BC的中點,E,F分別是AB、AC邊上的點,且DE⊥DF,若BE=15,CF=8,求△AEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中央電視臺舉辦的“中國漢字聽寫大會”節(jié)目受到中學(xué)生的廣泛關(guān)注.某中學(xué)為了了解學(xué)生對觀看“中國漢字聽寫大會”節(jié)目的喜愛程度,對該校部分學(xué)生進行了隨機抽樣調(diào)查,并繪制出如圖所示的兩幅統(tǒng)計圖.在條形圖中,從左向右依次為A類(非常喜歡),B類(較喜歡),C類(一般),D類(不喜歡).已知A類和B類所占人數(shù)的比是5:9,請結(jié)合兩幅統(tǒng)計圖,回答下列問題:
(1)寫出本次抽樣調(diào)查的樣本容量;
(2)請補全兩幅統(tǒng)計圖;
(3)若該校有2000名學(xué)生.請你估計觀看“中國漢字聽寫大會”節(jié)目不喜歡的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列實驗中,概率最大的是【 】
A. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)正面;
B. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面分別刻有數(shù)字1到6),擲出的點數(shù)為奇數(shù);
C. 在一副洗勻的撲克(背面朝上)中任取一張,恰好為方塊;
D. 三張同樣的紙片,分別寫有數(shù)字2,3,4,和勻后背面朝上,任取一張恰好為偶數(shù)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店購進600個旅游紀(jì)念品,進價為每個6元,第一周以每個10元的價格售出200個,第二周若按每個10元的價格銷售仍可售出200個,但商店為了適當(dāng)增加銷量,決定降價銷售(根據(jù)市場調(diào)查,單價每降低1元,可多售出50個,但售價不得低于進價),單價降低x元銷售銷售一周后,商店對剩余旅游紀(jì)念品清倉處理,以每個4元的價格全部售出,如果這批旅游紀(jì)念品共獲利1250元,問第二周每個旅游紀(jì)念品的銷售價格為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校準(zhǔn)備購進一批節(jié)能燈,已知1只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需26元;3只A型節(jié)能燈和2只B型節(jié)能燈共需29元.
(1)求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價各是多少元;
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購進這兩種型號的節(jié)能燈共50只,并且A型節(jié)能燈的數(shù)量不多于B型節(jié)能燈數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義一種新運算“a*b”:當(dāng)a≥b時,a*b=a+2b;當(dāng)a<b時,a*b=a-2b.
例如:3*(-4)=3+(-8)=-5,(-6)*12=-6-24=-30
(1)填空:(-4)*3= .
(2)若(3x-4)*(x+6)=(3x-4)+2(x+6),則x的取值范圍為 ;
(3)已知(3x-7)*(3-2x)<-6,求x的取值范圍;
(4)小明在計算(2x2-4x+8)*(x2+2x-2)時隨意取了一個x的值進行計算,得出結(jié)果是-4,小麗告訴小明計算錯了,問小麗是如何判斷的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在讀書月活動中,學(xué)校準(zhǔn)備購買一批課外讀物.為使課外讀物滿足同學(xué)們的需求,學(xué)校就“我最喜愛的課外讀物”從文學(xué)、藝術(shù)、科普和其他四個類別進行了抽樣調(diào)查(每位同學(xué)只選一類),如圖是根
據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息,解答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了 名同學(xué);
(2)條形統(tǒng)計圖中,m= ,n= ;
(3)扇形統(tǒng)計圖中,藝術(shù)類讀物所在扇形的圓心角是 度;
(4)學(xué)校計劃購買課外讀物6000冊,請根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計學(xué)校購買其他類讀物多少冊比較合理?
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