Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AH⊥BC，H是垂足，D是BC上的點，DE⊥AB，E是垂足，DF∥AB，交AC于點F．
（1）求證：△DBE∽△ABH；
（2）設(shè)BD=x，△DEF的面積為y，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當△DEF的面積y為最大時，求tan∠EFD的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定方法即可求；
（2）y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)△DEF的面積=0.5ED•DF可以得出；
（3）求tan∠EFD的值，即求ED：DF的值，由△DEF的面積y為最大，得出x的值，確定ED，DF的長度．

解答：（1）證明：∵DE⊥AB，AH⊥BC
∴∠BED=∠AHB=90°
∵∠B=∠B
∴△DBE∽△ABH．

（2）解：BC=10，BH=5，AH=

169-25

=12，BD=x，CD=10-x，ED=

12

13

x
∵DF∥AB
∴DF：AB=CD：CB
∵DF=1.3（10-x）
∴y=0.5×

12

13

x×1.3（10-x）=0.6x（10-x）

（3）解：y=0.6x（10-x）=-0.6（x-5）²+15，
∵當△DEF的面積y為最大時，x=5，ED=

60

13

，DF=6.5
∴tan∠EFD=ED：DF=

120

169

點評：本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)題目提供的條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，同時考查了三角函數(shù)的計算．