Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B.

⑴ 若點(diǎn)D是直線AB在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且BD＝BC，試求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

⑵ 在⑴的條件下，若點(diǎn)Q是坐標(biāo)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探索在第一象限是否存在另一個(gè)點(diǎn)P，使得以B、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊）？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（3，7）

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，12）或（3，2）或（7，4）

【解析】試題分析：（1）先求出OB=3，進(jìn)而求出BC=5，再用勾股定理建立方程求出點(diǎn)D；
（2）分點(diǎn)Q在y軸和x軸，兩種情況討論，先利用菱形的性質(zhì)求出BQ=5進(jìn)而得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用菱形的對(duì)邊平行即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）如圖1，設(shè)點(diǎn)D（3a，4a+3），
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，把x=0代入y=x+3中，得，y=3，

∴OB=3，
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a，BC==5，
在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得，（3a）2+（4a）2=52，
∴a=±1，
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴a=1，
∴D（3，7）；
（2）由（1）知，BD=BC=5，
①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，
設(shè)Q（0，q），
∵使得以B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊），且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，
即：四邊形BDPQ是菱形，
∴PQ∥BD，DP∥BQ，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，
∵四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵B（0，3），
∴Q（0，8）或（0，-2），
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)Q（0，8）時(shí)，
∵直線BD的解析式為y=x+3，
∴直線PQ的解析式為y=x+8，
當(dāng)x=3時(shí)，y=12，
∴P（3，12），
Ⅱ、點(diǎn)Q（0，-2）時(shí)，
∵直線BD的解析式為y=x+3，
∴直線PQ的解析式為y=x-2，
當(dāng)x=3時(shí)，y=2，
∴P（3，2），
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，
設(shè)Q（m，0），），
∵使得以B，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形（BD為菱形的一邊），且點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，
即：四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ=BD=5，
∵OB=3，
∴OQ=4，
∴Q（-4，0）或（4，0）
Ⅰ、當(dāng)Q（-4，0）時(shí)，∵一次函數(shù)y=x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A，
∴A（-，0），
∴點(diǎn)Q在點(diǎn)A的左側(cè)，
∴點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，不符合題意，舍去，
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)Q（4，0）時(shí)，∵四邊形BDPQ是菱形，
∴BQ∥DP，PQ∥BD，
∵直線BD的解析式為y=x+3，
∴設(shè)直線PQ的解析式為y=x+b，
∴×4+b=0，
∴b=-，
∴直線PQ的解析式為y=x-①，
∵B（0，3），Q（4，0），
∴直線BQ的解析式為y=-x+3，
∵D（3，7），
∴直線DP的解析式為y=-x+②，
聯(lián)立①②解得，x=7，y=4，
∴P（7，4），
即：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，12）、（3，2）、（7，4）．