Question

已知關于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-

5

4

=0 ①．
（1）求證：對于任意實數k，方程①總有兩個不相等的實數根；
（2）如果a是關于y的方程y²-(x1-k-

1

2

)y+（x₁-k）（x₂-k）+

1

4

=0 ②的根，其中x₁、x₂為方程①的兩個實數根，且x₁＜x₂，求代數式(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

•(a2-1)的值．

Answer 1

分析：（1）求出根的判別式△=9，然后根據△的情況即可進行證明；
（2）求出x₁的值，并根據根與系數的關系求出（x₁-k）（x₂-k）的值，然后對關于y的方程整理成一般形式，從而得到關于a的一元二次方程，再把代數式化簡，然后即可求解．

解答：（1）證明：∵△=[-2（k+1）]²-4×（k²+2k-

5

4

），
=4k²+8k+4-4k²-8k+5，
=9＞0，
∴對于任意實數k，方程①總有兩個不相等的實數根；

（2）∵x₁＜x₂，
∴x₁=

2(k+1)- 9

2×1

=k-

1

2

，
∴x₁-k-

1

2

=k-

1

2

-k-

1

2

=-1，
又∵x₁+x₂=-

b

a

=2（k+1），x₁•x₂=

c

a

=k²+2k-

5

4

，
∴（x₁-k）（x₂-k）+

1

4

，
=x₁•x₂-k（x₁+x₂）+k²+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k（k+1）+

1

4

，
=k²+2k-

5

4

-2k²-2k+k²+

1

4

，
=-1，
∴關于y的方程為y²+y-1=0，
∵a是方程的解，
∴a²+a-1=0，
∴1-a²=a，
(

1

a

-

a

a+1

)÷

4

a+1

•(a2-1)=

a+1-a2

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=

2a

a(a+1)

×

a+1

4

×（a²-1）=-

1

2

a，
根據求根公式可得a=

-1± 1+4

2

=

-1± 5

2

，
∴-

1

2

a=-

1

2

×

-1± 5

2

=

1± 5

4

，
故代數式的值為

1+ 5

4

或

1- 5

4

．

點評：本題考查了根的判別式，△＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根，△＜0時，一元二次方程沒有實數根，（2）中把關于y的一元二次方程消去k與x₁、x₂，整理成只含有字母y的方程是解題的關鍵，本題難度較大，計算比較復雜．