【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形AOBC的邊長為AO=6,AC=8,

1)如圖,EOB的中點(diǎn),將△AOE沿AE折疊后得到△AFE,點(diǎn)F在矩形AOBC內(nèi)部,延長AFBC于點(diǎn)G.求點(diǎn)G的坐標(biāo);

2)定義:若以不在同一直線上的三點(diǎn)中的一點(diǎn)為圓心的圓恰好過另外兩個(gè)點(diǎn),這樣的圓叫做黃金圓.如圖,動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)A沿線段CA運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位的速度由點(diǎn)O向點(diǎn)C沿線段OC運(yùn)動(dòng);求:當(dāng) PQC三點(diǎn)恰好構(gòu)成黃金圓時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1(8);(2,

【解析】

試題(1)由折疊對(duì)稱的性質(zhì)可得DAOE≌DAFE,從而推出DEFG≌DEBG,得到DAOE∽DAEG,因此AE2=AO×AG,在Rt△AOE中,由勾股定理可得AE2=36+16=52,從而得AG=,在Rt△ABM中,由勾股定理可得CG=,從而BG=,得到G的坐標(biāo)為(8,);(2)分點(diǎn)C為黃金圓的圓心,點(diǎn)P為黃金圓的圓心,點(diǎn)Q為黃金圓的圓心三種情況討論即可.

試題解析:(1)如圖,連接EG,

由題意得:DAOE≌DAFE,∴EFG=OBC=900.

∵EOB的中點(diǎn),∴EG=EGEF=EB=4∴DEFG≌DEBG

∴FEG=BEG,AOB=AEG=900. ∴DAOE∽DAEG,AE2=AO×AG.

又在Rt△AOE中,∵AO=6,OE=4∴AE2=36+16=52.

∴52=6×AG,AG=.

Rt△ABM中,由勾股定理可得CG=,∴BG=

∴G的坐標(biāo)為(8,) .

2)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,

當(dāng)點(diǎn)C為黃金圓的圓心時(shí),則CQ=CP,

即:2t=10—4t,得到t=,此時(shí)CP=AP=,P點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)P為黃金圓的圓心時(shí),則PC=PQ,

如圖,過點(diǎn)QAC的垂線交AC于點(diǎn)ECQ=10—4t,CP=2t

由三角形相似可知:EQ=CQ=,PE=,

,化簡得:

解得(舍去)

此時(shí),AP=P點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)點(diǎn)Q為黃金圓的圓心時(shí),則QC=PQ,

如圖,過點(diǎn)QAC的垂線交AC于點(diǎn)FCQ=10—4t,CP=2t.

由三角形相似可知:QF=,PF=

,整理得

解得(舍去)

此時(shí),AP=,P點(diǎn)坐標(biāo)為

綜上所述,P點(diǎn)坐標(biāo)為,

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請(qǐng)根據(jù)以上方法,解決下列問題;

(1)請(qǐng)根據(jù)以上信息,任寫一個(gè)真分式 .

(2)已知:;

①當(dāng)時(shí),若都為正整數(shù),求的值;

②計(jì)算,設(shè),探索是否有最小值,若有,請(qǐng)求出的值;若沒有,請(qǐng)說明理由.

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