Question

（2011•西藏）為歡迎中外游客來西藏旅游觀光，拉薩市旅游局決定對拉貢公路段的噶拉山隧道進(jìn)行美化施工，已知隧道的橫截面為拋物線，其最大高度為7米，底部寬度OE為14米，如圖以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OE所在直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)并求出拋物線的解析式；
（2）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使C，D點(diǎn)在拋物線上，A，B點(diǎn)在地面OE上，設(shè)長OA為x米，“腳手架”三根木桿AD，DC，CB，的長度之和為l，當(dāng)x為何值時，l最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系易求M的坐標(biāo)為（7，0），點(diǎn)E（14，0），設(shè)解析式為y=ax2+bx，把M點(diǎn)及E點(diǎn)的坐標(biāo)代入利用待定系數(shù)求出解析式；
（2）總長由三部分組成，根據(jù)它們之間的關(guān)系可設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），用含x的式子表示三段的長，再求其和的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解．

解答：解：（1）由題意結(jié)合圖形可得點(diǎn)M坐標(biāo)為（7，7），點(diǎn)E坐標(biāo)為（14，0），
設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+bx，則

49a+7b=7 196a+14b=0

，
解得：

a=- 1 7 b=2

，故拋物線解析式為：y=-

1

7

x²+2x；

（2）設(shè)A（x，0），則B（14-x，0），C（14-x，-

1

7

x²+2x），D（x，-

1

7

x²+2x），
故“腳手架”總長AD+DC+CB=（-

1

7

x²+2x）+（14-2x）+（-

1

7

x²+2x）=-

2

7

x²+2x+14=-

2

7

（x-

7

2

）²+17.5，
∵此二次函數(shù)的圖象開口向下，
∴當(dāng)x=3.5米時，l有最大值，最大值為17.5米．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，難點(diǎn)在第（2）問，要分別求出三部分的表達(dá)式再求其和，掌握二次函數(shù)最值的求法是關(guān)鍵．