Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=

1

2

BC．將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長(zhǎng)FC和GB相交于點(diǎn)H．
①∠BAC=45°；
②四邊形AFHG是正方形；
③BC=BG+CF；
④若BD=6，CD=4，則AD=10．
以上說法正確的有（　�。�

A．4個(gè)

B．3個(gè)

C．2個(gè)

D．1個(gè)

Answer 1

連接OB和OC；
∵OE⊥BC，
∴BE=CE；
∵OE=

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2

BC，
∴∠BOC=90°，
∴∠BAC=45°，選項(xiàng)①正確；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折疊可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四邊形AFHG是正方形，選項(xiàng)②正確；
由折疊可得：BD=BG，CD=CF，
∴BC=BD+CD=BG+CF，選項(xiàng)③正確，
由②得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
設(shè)AD的長(zhǎng)為x，則BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．
在Rt△BCH中，BH²+CH²=BC²，
∴（x-6）²+（x-4）²=10²；
解得，x₁=12，x₂=-2（不合題意，舍去）；
∴AD=12．選項(xiàng)④錯(cuò)誤，
則正確的選項(xiàng)有3個(gè)．
故選B