Question

【題目】我們學(xué)習(xí)過利用用尺規(guī)作圖平分一個(gè)任意角，而“利用尺規(guī)作圖三等分一個(gè)任意角”曾是數(shù)學(xué)史上一大難題，之后被數(shù)學(xué)家證明是不可能完成的，人們根據(jù)實(shí)際需要，發(fā)明了一種簡(jiǎn)易操作工具--------三分角器．圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線 上，且的長(zhǎng)度與半圓的半徑相等；與重直于點(diǎn) 足夠長(zhǎng)．

使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當(dāng)放置三分角器，使經(jīng)過的頂點(diǎn)，點(diǎn)落在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點(diǎn)為，則就把三等分了．

為了說明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．

已知：如圖2，點(diǎn)在同一直線上，垂足為點(diǎn)，

求證：

Answer 1

【答案】在上，過點(diǎn)， 為半圓的切線，切點(diǎn)為；EB，EO為∠MEN的三等分線．證明見解析．

【解析】

如圖，連接OF．則∠OFE=90°，只要證明，，即可解決問題；

已知：如圖2，點(diǎn)在同一直線上，垂足為點(diǎn)， 在上，過點(diǎn)，為半圓的切線，切點(diǎn)為．

求證： EB，EO為∠MEN的三等分線．

證明：如圖，連接OF．則∠OFE=90°，

∵EB⊥AC，EB與半圓相切于點(diǎn)B，

∴∠ABE=∠OBE=90°，

∵BA=BO．EB=EB，

∴∠AEB=∠BEO，

∵EO=EO．OB=OF，∠OBE=∠OFE，

∴，

∴∠OEB=∠OEF，

∴∠AEB=∠BEO=∠OEF，

∴EB，EO為∠MEN的三等分線．

故答案為：在上，過點(diǎn)，為半圓的切線，切點(diǎn)為．

EB，EO為∠MEN的三等分線．