Question

關(guān)于x的方程，kx²+（k+1）x+

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4

k=0有兩個(gè)不等實(shí)根．
①求k的取值范圍；
②是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)根的倒數(shù)和為0？若存在，請(qǐng)求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：①因?yàn)榉匠逃袃蓚�(gè)不等實(shí)根，所以判別式大于0，可以求出k的取值范圍．
②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用k的式子表示兩根之和與兩根之積，然后代入兩根的倒數(shù)和為0的等式中，求出k的值．對(duì)不在取值范圍內(nèi)的值要舍去．

解答：解：①△=（k+1）²-4k•

1

4

k，
=k²+2k+1-k²，
=2k+1＞0，
∴k＞-

1

2

，
∵k≠0，
故k＞-

1

2

且k≠0．
②設(shè)方程的兩根分別是x₁和x₂，則：
x₁+x₂=-

k+1

k

，x₁•x₂=

1

4

，

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

4(k+1)

k

=0，
∴k+1=0，即k=-1，
∵k＞-

1

2

，
∴k=-1（舍去）．
所以不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，①題用根的判別式求出k的取值范圍，因?yàn)槭且辉�二次方程，二次�?xiàng)系數(shù)不為0，所以k≠0．②題根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，把兩根和與兩根積代入等式求出k的值，對(duì)不在取值范圍內(nèi)的值要舍去．