【題目】在四邊形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一點,F(xiàn)是AB延長線上一點,且CE=BF.
(1)試說明:DE=DF;
(2)在圖中,若G在AB上且∠EDG=60°,試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論;
(3)若題中條件“∠CAB=60°,∠CDB=120°”改為∠CAB=α,∠CDB=180°-α,G在AB上,∠EDG滿足什么條件時,(2)中結(jié)論仍然成立?(只寫結(jié)果不要證明).
【答案】(1)證明見解析;
(2)CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為:CE+BG=EG,證明見解析;
(3)當∠EDG=90°﹣α?xí)r, CE+BG=EG仍然成立.
【解析】試題分析:(1)首先判斷出∠C=∠DBF,然后根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△CDE≌△BDF,即可判斷出DE=DF.(2)猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為:CE+BG=EG.首先根據(jù)全等三角形判定的方法,判斷出△ABD≌△ACD,即可判斷出∠BDA=∠CDA=60°;然后根據(jù)∠EDG=60°,可得∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG,再根據(jù)∠CDE=∠BDF,判斷出∠EDG=∠FDG,據(jù)此推得△DEG≌△DFG,所以EG=FG,最后根據(jù)CE=BF,判斷出CE+BG=EG即可.(3)根據(jù)(2)的證明過程,要使CE+BG=EG仍然成立,則∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB,即∠EDG=(180°-α)=90°-α,據(jù)此解答即可.
試題解析:(1):∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°,∠CAB=60°,∠CDB=120°,
∴∠C+∠ABD=360°﹣60°﹣120°=180°,
又∵∠DBF+∠ABD=180°,
∴∠C=∠DBF,
在△CDE和△BDF中,
(SAS)
∴△CDE≌△BDF,
∴DE=DF.
(2)解:如圖1,連接AD,猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系為:CE+BG=EG.
證明:在△ABD和△ACD中,
(SSS)
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BDA=∠CDA=∠CDB=×120°=60°,
又∵∠EDG=60°,
∴∠CDE=∠ADG,∠ADE=∠BDG,
由(1),可得△CDE≌△BDF,
∴∠CDE=∠BDF,
∴∠BDG+∠BDF=60°,
即∠FDG=60°,
∴∠EDG=∠FDG,
在△DEG和△DFG中,
∴△DEG≌△DFG,
∴EG=FG,
又∵CE=BF,FG=BF+BG,
∴CE+BG=EG;
(3)解:要使CE+BG=EG仍然成立,
則∠EDG=∠BDA=∠CDA=∠CDB,
即∠EDG=(180°﹣α)=90°﹣α,
∴當∠EDG=90°﹣α時, CE+BG=EG仍然成立.
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