【題目】如圖,已知直線l與⊙O相離,OA⊥l于點(diǎn)A,交⊙O于點(diǎn)P,OA=5,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,BP的延長線交直線l于點(diǎn)C.

(1)求證:AB=AC.
(2)若PC=2 ,求⊙O的半徑.

【答案】
(1)證明:連接OB,

∵OB=OP,

∴∠OPB=∠OBP,

∵∠OPB=∠APC,

∴∠OBP=∠APC,

∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B,

∴OB⊥AB,

∴∠ABO=90°,

∴∠ABP+∠OBP=90°,

∵OA⊥AC,

∴∠OAC=90°,

∴∠ACB+∠APC=90°,

∴∠ABP=∠ACB,

∴AB=AC


(2)證明:設(shè)⊙O的半徑為r,

在Rt△AOB中,AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2,

在Rt△ACP中,AC2=PC2﹣PA2

AC2=(2 2﹣(5﹣r)2,

∵AB=AC,

∴52﹣r2=(2 2﹣(5﹣r)2,

解得:r=3,

則⊙O的半徑為3.


【解析】(1)由同圓半徑相等和對頂角相等得∠OBP=∠APC,由圓的切線性質(zhì)和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°,則∠ABP=∠ACB,根據(jù)等角對等邊得AB=AC;(2)設(shè)⊙O的半徑為r,分別在Rt△AOB和Rt△ACP中根據(jù)勾股定理列等式,并根據(jù)AB=AC得52﹣r2=(2 2﹣(5﹣r)2 , 求出r的值即可.

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【題目】由于霧霾天氣趨于嚴(yán)重,我市某電器商城根據(jù)民眾健康需求,代理銷售某種家用空氣凈化器,其進(jìn)價(jià)是200元/臺.經(jīng)過市場銷售后發(fā)現(xiàn):在一個(gè)月內(nèi),當(dāng)售價(jià)是400元/臺時(shí),可售出200臺,且售價(jià)每降低10元,就可多售出50臺.若供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺,代理銷售商每月要完成不低于450臺的銷售任務(wù).
(1)完成下列表格,并直接寫出月銷售量y(臺)與售價(jià)x(元/臺)之間的函數(shù)關(guān)系式及售價(jià)x的取值范圍;

售價(jià)(元/臺)

月銷售量(臺)

400

200

250

x


(2)當(dāng)售價(jià)x(元/臺)定為多少時(shí),商場每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤w(元)最大?最大利潤是多少?

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【題目】某公司需招聘一名員工,對應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、體能三個(gè)方面進(jìn)行量化考核.甲、乙、丙各項(xiàng)得分如下表:

筆試

面試

體能

83

79

90

85

80

75

80

90

73


(1)根據(jù)三項(xiàng)得分的平均分,從高到低確定三名應(yīng)聘者的排名順序.
(2)該公司規(guī)定:筆試,面試、體能得分分別不得低于80分,80分,70分,并按60%,30%,10%的比例計(jì)入總分.根據(jù)規(guī)定,請你說明誰將被錄用.

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D. cm

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(1)求證:△BDE∽∠ADB;
(2)試判斷直線DF與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖2,條件不變,若BC恰好是⊙O的直徑,且AB=6,AC=8,求DF的長.

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