Question

【題目】如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB=12,BC=16.將矩形紙片ABCD折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A折疊至點(diǎn)E處，GH為折痕，連接BG.

(1)△DGH是等腰三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

(2)求線段AG的長(zhǎng)；

(3)求折痕GH的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)△ DGH是等腰三角形，理由見(jiàn)解析；(2) AG=3.5；(3)折痕GH的長(zhǎng)為15.

【解析】

（1）由翻折，找著重合的部分，得到相等的邊，相等的角，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得即可證明；

（2）設(shè)出未知數(shù)，用未知數(shù)表示出相關(guān)的量，應(yīng)用勾股定理，列出方程可求得答案．

（3）由(2)知BG=DG=16-3.5=12.5，因?yàn)?DG=DH=BH，GE∥DH，從而求出四邊形BHDG是菱形，再利用勾股定理列式求出BD，然后根據(jù)菱形的面積列出方程求解即可．

(1)DGH是等腰三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∵AD∥BC,∴∠DGH=∠BHG，由折疊知∠DHG=∠BHG，∴∠DGH=∠DHG，∴DG=DH，即DGH是等腰三角形；

(2)由折疊知AG=GE，設(shè)AG=x，則BG=DG=16-x，∵∠A=90°，，∴，解得x=3.5，∴AG=3.5；

(3)由(2)知BG=DG=16-3.5=12.5，∵DG=DH=BH，GE∥DH，∴四邊形BHDG是平行四邊形，∴四邊形BHDG是菱形.；

法一：作GF⊥BC于點(diǎn)F，則BF=AG=3.5,GF=AB=12，∴FH=BH-BF=12.5-3.5=9，

∴GH==,∴折痕GH的長(zhǎng)為15.；

法二：連接BD，則BD===20，∵四邊形BHDG是菱形，

∴S菱形BHDG=BH·AB=BD·GH，∴GH==15,∴折痕GH的長(zhǎng)為15..