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如圖,平面直角坐標系中,四邊形OABC為正方形,E點在x軸的正半軸上運動,點F在CB精英家教網邊上,且∠OAE=∠FAE
在圖①中,E點在OC邊上,CE=
1
2
OC
,若延長AE、BC相交于點H,由∠OAE=∠FAE和AO∥BC,易知∠FAE=∠H,得AF=HF;由于E為OC中點,AO∥BC,可得△AOE≌△HCE,有AO=CH,又因AO=OC,可得CH=OC,所以有AF=CF+OC
(1)若E點在OC邊上,CE=
1
3
OC
,(如圖②)請?zhí)剿鰽F、FC、OC三條線段之間的數量關系,并證明你的結論;
(2)若E點在OC邊上,CE=
1
n
OC
(n是大于1的整數),請直接寫出AF、FC、OC之間的數量關系(不要求證明);
(3)若A點的坐標為(0,6),E點在x軸的正半軸上運動,點F在直線CB上,且∠OAE=∠FAE;當AF和CF相差2個單位長度時,試求出此時E點的坐標.
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分析:(1)如果延長AE、BC相交于點H,則由兩角對應相等的兩三角形相似易證△AOE∽△HCE,得出CH=
1
2
OA.由已知條件∠OAE=∠FAE及平行線的性質得出∠FAE=∠H,則AF=HF,從而得出AF=CF+
1
2
OC

(2)由已知及上問結論,得出AF=CF+
1
n-1
OC
;
(3)由于E點在x軸的正半軸上運動,可分點E在OC邊上及點E在OC的延長線上兩種情況分別討論.針對每一種情況,均可列出關于n的方程,求出n的值,進而得到E點的坐標.
解答:精英家教網解:(1)延長AE、BC相交于點H.
∵AO∥BC,
∴∠AOC=∠HCE,∠OAE=∠CHE,
∴△AOE∽△HCE,
∴AO:CH=OE:CE=2:1,
∴CH=
1
2
OA.
∵∠OAE=∠CHE,∠OAE=∠FAE,
∴∠FAE=∠H,
∴AF=HF;
又HF=CF+CH,OC=OA,
AF=CF+
1
2
OC
;

(2)AF=CF+
1
n-1
OC


(3)當E在OC邊上時,AF=CF+
1
n-1
OC
,
AF-CF=
1
n-1
OC

2=
1
n-1
•6
,
∴n=4;
E為(4.5,0);(2分)
當E在OC延長線上時,AF=CF-
1
n+1
OC
,
CF-AF=
1
n+1
OC

2=
1
n+1
•6

∴n=2;
E為(8,0).(3分)
點評:本題綜合考查了正方形的性質,全等三角形、相似三角形的判定等知識.同時也考查了學生的分析、歸納能力,難度較大.
練習冊系列答案
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1x
上運動,則B點在函數解析式
 
上運動.

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3

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a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
.點D為線段OA上一動點,連接CD.
(1)判斷△ABC的形狀并說明理由;
(2)如圖,過點D作CD的垂線,過點B作BC的垂線,兩垂線交于點G,作GH⊥AB于H,求證:
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH
;
(3)如圖,若點D到CA、CO的距離相等,E為AO的中點,且EF∥CD交y軸于點F,交CA于M.求
FC+2AE
3AM
的值.

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