Question

在三角形ABC中，CD⊥AB，CD=3，AD=，BD=．
（1）求證：△ACD∽CBD；
（2）用圓規(guī)和直尺作出以AB為直徑的圓O（保留作圖痕跡），判斷C點(diǎn)和圓O的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若E為直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CE交⊙O于F點(diǎn)，當(dāng)△CBF為等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形特殊角的銳角三角函數(shù)值即可推出∠A=30°，∠ACD=60°，∠DCB=30°∠B=60°，求得∠ACB=90°后，即可求證△ACB∽△CBD；
（2）作AB的中垂線找到的中點(diǎn)O，然后以O(shè)點(diǎn)為圓形，OA為半徑畫圓即可；根據(jù)（1）所推出的結(jié)論∠ACB=90°，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可推出C點(diǎn)在⊙O上；
（3）根據(jù)點(diǎn)E所移動(dòng)的位置分情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意畫出圖形，
①如圖2，若BC=BF，根據(jù)弦與所對(duì)弧的關(guān)系推出，由直徑AB，即可求出，從而推出∠CBA=∠FBA，確定BE⊥CF，由CD⊥AB，即可確定點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，即可求出AE的長(zhǎng)度，
②如圖3，若FB=FC，連接OF，OC，由已知，可推出OA=OF=2，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出AC的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠ACE=∠FBE后，通過求證△CFO≌△BFO，推出對(duì)應(yīng)角相等，然后由OC=OF，確定∠FCO=∠OFC，通過等量代換求出∠ACE=∠OFC后，即可求出OF∥AC，從而的比例式AE：OE=AC：OF，根據(jù)比例式的性質(zhì)對(duì)比例式變形后即可推出AE=3-3．
解答：解：（1）∵CD⊥AB，CD=3，AD=，BD=，
∴，，
∴∠A=30°，∠ACD=60°，∠DCB=30°∠B=60°，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CBD．

（2）如圖1，為所作圖形，C點(diǎn)在⊙O上，
∵AB為⊙O的直徑，
∴O點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，
∴OA=OB，
∴∠ACB=90°，
∵OC=OA=OB，
∴C點(diǎn)在⊙O上．

（3）①如圖2，若BC=BF，
∵△CBF為等腰三角形，
∴BC=BF，
∴，
∵直徑AB，
∴，
∴∠CBA=∠FBA，
∴BE平分頂角∠CBF，
∴BE⊥CF，
∵CD⊥AB，AD=3，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
∴AE=AD=3，
②如圖3，若FB=FC，連接OF，OC，
∵AD=3，BD=，
∴AB=4，
∴OA=OF=2，
∵∠CAB=30°，CD=3，CD⊥AB，
∴AC=6，
∵∠A=∠CFB，∠AEC=∠EFB，
∴∠ACE=∠FBE，
∵等腰三角形CFB，
∴CF=BF，
∴在△CFO和△BFO中，
，
∴△CFO和△BFO（SSS），
∴∠FBO=∠FCO，
∴∠ACE=∠FCO，
∵OC=OF，
∴∠FCO=∠OFC，
∴∠ACE=∠OFC，
∴OF∥AC，
∴AE：OE=AC：OF，
∵AC=6，OF=2，OA=2，
∴AE=3-3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)，（1）小題難度不大，關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值推出相關(guān)角的度數(shù)，（2）小題關(guān)鍵根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)推出OC=OA=OB，難度不大，（3）小題難度較大，關(guān)鍵在于根據(jù)點(diǎn)E的不同位置畫出圖形分情況進(jìn)行討論，正確的運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理求證相關(guān)三角形全等，求證AC∥OF，正確的推出比例式，然后認(rèn)真的計(jì)算即可．