【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上,PD切⊙O于點(diǎn)C,BD⊥PD,垂足為D,連接BC.
(1)求證:BC平分∠PBD;
(2)求證:BC2=ABBD;
(3)若PA=6,PC=6 ,求BD的長(zhǎng).
【答案】
(1)證明:連接OC,
∵PD為圓O的切線,
∴OC⊥PD,
∵BD⊥PD,
∴OC∥BD,
∴∠OCB=∠CBD,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠CBD=∠OBC,
則BC平分∠PBD
(2)證明:連接AC,
∵AB為圓O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵∠ACB=∠CDB=90°,∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
∴ ,即BC2=ABBD
(3)解:∵PC為圓O的切線,PAB為割線,
∴PC2=PAPB,即72=6PB,
解得:PB=12,
∴AB=PB﹣PA=12﹣6=6,
∴OC=3,PO=PA+AO=9,
∵△OCP∽△BDP,
∴ ,即 ,
則BD=4.
【解析】(1)連接OC,由PD為圓O的切線,利用切線的性質(zhì)得到OC垂直于PD,由BD垂直于PD,得到OC與BD平行,利用兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等,再由OC=OB,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等,等量代換即可得證;(2)連接AC,由AB為圓O的直徑,利用直徑所對(duì)的圓周角為直角得到△ABC為直角三角形,根據(jù)一對(duì)直角相等,以及第一問(wèn)的結(jié)論得到一對(duì)角相等,確定出△ABC與△BCD相似,由相似得比例,變形即可得證;(3)由切割線定理列出關(guān)系式,將PA,PC的長(zhǎng)代入求出PB的長(zhǎng),由PB﹣PA求出AB的長(zhǎng),確定出圓的半徑,由OC與BD平行得到△PCO與△DPB相似,由相似得比例,將OC,OP,以及PB的長(zhǎng)代入即可求出BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,P是直線l外一點(diǎn),點(diǎn)A、B、C在l上,且PB⊥l,下列說(shuō)法:①PA、PB、PC這3條線段中,PB最短;②點(diǎn)P到直線l的距離是線段PB的長(zhǎng);③線段AB的長(zhǎng)是點(diǎn)A到PB的距離;④線段PA的長(zhǎng) 是點(diǎn)P到直線l的距離.其中正確的是( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖①,直線AB∥CD,E是AB與AD之間的一點(diǎn),連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C=∠BEC.
證明過(guò)程如下:
證明:過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB,
∵AB∥DC,EF∥AB(輔助線的作法),
∴EF∥DC
∴∠C=∠CEF.
∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF
∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF
即∠B+∠C=∠BEC.
(2)如果點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置,其他條件不變,∠B,∠C,∠BEC又有什么關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(3)如圖③,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,則∠A= .(寫出結(jié)論,不用寫計(jì)算過(guò)程)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
A. ∠M=∠N B. AM=CN C. AB=CD D. AM∥CN
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三個(gè)天平的托盤中形狀相同的物體質(zhì)量相等.圖①、圖②所示的兩個(gè)天平處于平衡狀態(tài),要使第三個(gè)天平也保持平衡,可在它的右盤中放置( )
A. 3個(gè)球 B. 4個(gè)球
C. 5個(gè)球 D. 6個(gè)球
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖①,把△ABC 紙片沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 落在四邊形 BCED 的內(nèi)部點(diǎn) A′的位置,試說(shuō)明 2∠A=∠1+∠2;
(2)如圖②,若把△ABC 紙片沿 DE 折疊,使點(diǎn) A 落在四邊形 BCED 的外部點(diǎn)A′的位置,寫出∠A 與∠1、∠2 之間的等量關(guān)系(無(wú)需說(shuō)明理由);
(3)如圖③,若把四邊形 ABCD 沿 EF 折疊,使點(diǎn) A、D 落在四邊形BCFE 的內(nèi)部點(diǎn) A′、D′的位置,請(qǐng)你探索此時(shí)∠A、∠D、∠1 與∠2 之間的數(shù)量關(guān)系,寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)為了進(jìn)一步緩解交通擁堵問(wèn)題,決定修建一條長(zhǎng)為6千米的公路.如果平均每天的修建費(fèi)y(萬(wàn)元)與修建天數(shù)x(天)之間在30≤x≤120,具有一次函數(shù)的關(guān)系,如下表所示.
X | 50 | 60 | 90 | 120 |
y | 40 | 38 | 32 | 26 |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)后來(lái)在修建的過(guò)程中計(jì)劃發(fā)生改變,政府決定多修2千米,因此在沒(méi)有增減建設(shè)力量的情況下,修完這條路比計(jì)劃晚了15天,求原計(jì)劃每天的修建費(fèi).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,給出下列結(jié)論: ①2a+b>0;②b>a>c;③若﹣1<m<n<1,則m+n<﹣ ;④3|a|+|c|<2|b|.
其中正確的結(jié)論是(寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn),BC=BD=AD,則∠A的大小是( 。
A. 36° B. 54° C. 72° D. 30°
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