Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，點(diǎn)P是腰AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）如圖1，如果點(diǎn)M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面積，求出此時(shí)PB的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)P作直線PM，是否存在PM將梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，DF⊥BC， ∵∠B=60°，AB=12， ∴sin60°=， ∴AE=6， ∴BE=6，同理可證：FC=6， ∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；   （2）作△PBM的高PG， ∵等腰梯形ABCD的面積是： （AD+BC）AE=×（4+16）×6=60 ∵PM平分梯形ABCD的面積， ∴S△PBM=30， ∵BM=12， ∴PG=5， ∵∠B=60°， ∴PB=， ∴PB=10；   （3）當(dāng)M在BC上時(shí)，梯形ABCD的周長(zhǎng)是4+12+16+12=44， ∵PB=10，BM=12時(shí)PB+BM=22（符合題意）， PB=12，BM=10時(shí) PB+BM=22（符合題意）， 當(dāng)M在DC上時(shí)（舍去）， 當(dāng)M在AD上（舍去）， 則存在符合題意的直線PM．