【題目】我們規(guī)定:三角形任意兩邊的“極化值”等于第三邊上的中線和這邊一半的平方差.如圖1,在△ABC中,AO是BC邊上的中線,AB與AC的“極化值”就等于AO2﹣BO2的值,可記為AB△AC=AO2﹣BO2 .
(1)在圖1中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是BC邊上的中線,則AB△AC= , OC△OA=;
(2)如圖2,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,求AB△AC、BA△BC的值;
(3)如圖3,在△ABC中,AB=AC,AO是BC邊上的中線,點(diǎn)N在AO上,且ON= AO.已知AB△AC=14,BN△BA=10,求△ABC的面積.
【答案】
(1)0;7
(2)
解:①如圖2,取BC的中點(diǎn)O,連接AO,
∵AB=AC,
∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=4,∠ABC=30°,
∴AO=2,OB=2 ,
∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8,
②取AC的中點(diǎn)D,連接BD,
∴AD=CD= AC=2,
過點(diǎn)B作BE⊥AC交CA的延長線于E,
在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,
∴∠ABE=30°,
∵AB=4,
∴AE=2,BE=2 ,
∴DE=AD+AE=4,
在Rt△BED中,根據(jù)勾股定理得,BD= = =2 ,
∴BA△BC=BD2﹣CD2=24;
(3)
解:如圖3,
設(shè)ON=x,OB=OC=y,
∴BC=2y,OA=3x,
∵AB△AC=14,
∴OA2﹣OB2=14,
∴9x2﹣y2=14①,
取AN的中點(diǎn)D,連接BD,
∴AD=DB= AN= × OA=ON=x,
∴OD=ON+DN=2x,
在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2=y2+4x2,
∵BN△BA=10,
∴BD2﹣DN2=10,
∴y2+4x2﹣x2=10,
∴3x2+y2=10②
聯(lián)立①②得, 或 (舍),
∴BC=4,OA=3 ,
∴S△ABC= BC×AO=6 .
【解析】解:①∵∠BAC=90°,AB=8,AC=6,
∴BC=10,
∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),
∴OA=OB=OC= BC=5,
∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0,②如圖1,
取AC的中點(diǎn)D,連接OD,
∴CD= AC=3,
∵OA=OC=5,
∴OD⊥AC,
在Rt△COD中,OD= =4,
∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7,
故答案為0,7;
(1)①先根據(jù)勾股定理求出BC=10,再利用直角三角形的性質(zhì)得出OA=OB=OC=5,最后利用新定義即可得出結(jié)論;②再用等腰三角形的性質(zhì)求出CD=3,再利用勾股定理求出OD,最后用新定義即可得出結(jié)論;(2)①先利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AO=2,OB=2 ,再用新定義即可得出結(jié)論;②先構(gòu)造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定義即可得出結(jié)論;(3)先構(gòu)造直角三角形,表述出OA,BD2 , 最后用新定義建立方程組求解即可得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分8分)
閱讀材料:
如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC⊥BD,垂足為P.
求證:S四邊形ABCD=
證明:AC⊥BD→
∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ACB=
=
解答問題:
(1)上述證明得到的性質(zhì)可敘述為_______________________________________.
(2)已知:如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P,AD=3cm,BC=7cm,利用上述的性質(zhì)求梯形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來霧霾天氣給人們的生活帶來很大影響,空氣質(zhì)量問題倍受人們關(guān)注.某單位計(jì)劃在室內(nèi)安裝空氣凈化裝置,需購進(jìn)A、B兩種設(shè)備.每臺(tái)B種設(shè)備價(jià)格比每臺(tái)A種設(shè)備價(jià)格多0.7萬元,花3萬元購買A種設(shè)備和花7.2萬元購買B種設(shè)備的數(shù)量相同.
(1)求A種、B種設(shè)備每臺(tái)各多少萬元?
(2)根據(jù)單位實(shí)際情況,需購進(jìn)A、B兩種設(shè)備共20臺(tái),總費(fèi)用不高于15萬元,求A種設(shè)備至少要購買多少臺(tái)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=12cm,C為AB延長線上一點(diǎn),CP與⊙O相切于點(diǎn)P,過點(diǎn)B作弦BD∥CP,連接PD.
(1)求證:點(diǎn)P為的中點(diǎn);
(2)若∠C=∠D,求四邊形BCPD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),在AC上取一點(diǎn)E,使∠ADE=30°.
(1)求證:△ABD∽△DCE;
(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某實(shí)驗(yàn)學(xué)校準(zhǔn)備在“十一”黃金周組織部分教師到陜西安康旅游,現(xiàn)聯(lián)系了甲、乙兩旅行社,兩家旅行社報(bào)價(jià)均為400元/人,同時(shí)兩旅行社對(duì)10人以上的團(tuán)體推出了優(yōu)惠舉措:甲旅行社對(duì)每位游客七五折優(yōu)惠;乙旅行社是免去一位帶隊(duì)老師的費(fèi)用,其余的八折優(yōu)惠①求人數(shù)為多少時(shí),兩家旅行社的收費(fèi)相同?②請(qǐng)你通過計(jì)算說明:旅游人數(shù)在什么范圍時(shí)選擇甲旅行社費(fèi)用較少?旅游人數(shù)在什么范圍時(shí)選擇乙旅行社的費(fèi)用較少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我市雙城同創(chuàng)的工作中,某社區(qū)計(jì)劃對(duì)1200m2的區(qū)域進(jìn)行綠化,經(jīng)投標(biāo),由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)來完成,已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化面積的2倍,并且在獨(dú)立完成面積為300m2區(qū)域的綠化時(shí),甲隊(duì)比乙隊(duì)少用3天.
(1)甲、乙兩施工隊(duì)每天分別能完成綠化的面積是多少?
(2)設(shè)先由甲隊(duì)施工x天,再由乙隊(duì)施工y天,剛好完成綠化任務(wù),求y與x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)若甲隊(duì)每天綠化費(fèi)用為0.4萬元,乙隊(duì)每天綠化費(fèi)用為0.15萬元,且甲、乙兩隊(duì)施工的總天數(shù)不超過14天,則如何安排甲、乙兩隊(duì)施工的天數(shù),使施工費(fèi)用最少?并求出最少費(fèi)用.
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