Question

如圖①△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120^o，以D為頂點作一個60^o角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N，連接MN。

(1)探究BM、MN、NC之間的關(guān)系,并說明理由。（6分）(2)若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長。

(3)若點M、N分別是AB、CA延長線上的點，其它條件不變，在圖②中畫出圖形，并說出BM、MN、NC之間的關(guān)系（4分）

Answer 1

解：如圖：

（1）MN=MB+NC。理由如下：

∵DB=DC，∠BDC=120^O

∴將△DCN繞點D逆

時針旋轉(zhuǎn)120^o，使

DC與DB重合，

得，Rt△DBN^/。

∵∠MDN=60^O

∴∠CDN+∠BDM=120^O-60^O=60^O，

∴∠MDN^/=60^O=∠MDN，DC=DN^/，DM=DM

∴△MDN≌△MDN^/，

∴MN=MN^/而NC=N^/B，

∴MN=MB+NC。

（2）由（1）題得：MN=MB+NC，

AB=AC=2

∴△AMN的周長=AM+MN+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=4

（3）關(guān)系：MN=CN-BN

（提示：將Rt△DBN繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120^o使DB與DC重合，則CM^/=BN，可證：△NDM≌△NDM^/）