Question

【題目】已知點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在直線MN和直線EF上，點(diǎn)B在直線外，∠BAN=α，∠BCF=β．

（1）如圖1，若MN∥EF，則∠B=　（用α，β的式子表示，不寫證明過程）

（2）在（1）的條件下，點(diǎn)T在直線MN與直線EF之間，∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，求∠B與∠T之間的數(shù)量關(guān)系．

（3）如圖2，若MN不平行于EF，直線AC平分∠MAB，且平分∠ECB，則∠B=　（用α，β的式子表示，不寫證明過程）

Answer 1

【答案】（1）β-α；（2）∠ATC=-∠B+60°；（3）∠B=（β-α）

【解析】

（1）利用平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)求解即可；

（2）過T作TK∥MN，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ATK=∠MAT，∠KTC=∠TCE，再由∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，表示出∠ATC=-（β-α）+60°，結(jié)合∠B=β-α，即可求出結(jié)果；

（3）根據(jù)題中條件可得：∠BAH=（180°-α），∠BCA=（180°-β），結(jié)合∠BAH=∠B+∠BCA，可得∠B.

解：（1）如圖，設(shè)MN與BC交于點(diǎn)G，

∵MN∥EF，

∴∠BGN=∠BCF=β，

∴∠B=∠BGN-∠BAN=β-α，

故答案為：β-α；

（2）如圖，過T作TK∥MN，

∵MN∥EF，

∴∠ATK=∠MAT，∠KTC=∠TCE，

∵∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，

∴∠ATC=∠ATK+∠KTC

=∠MAT+∠TCE

=∠BAN+∠TCB

=α+××（180°-∠BCF）

=α-β+60°

=-（β-α）+60°

∵∠B=β-α，

∴∠ATC=-∠B+60°；

（3）如圖，

∵直線AC平分∠MAB，且平分∠ECB，

∴∠BAH=∠MAH=（180°-∠BAN）=（180°-α），

∠BCA=∠ECA=（180°-∠BCF）=（180°-β），

∵∠BAH=∠B+∠BCA，

∴（180°-α）=∠B+（180°-β），

∴∠B=（β-α）.