Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．直線PE從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，并始終與BC平行，與AC交于點(diǎn)E．同時(shí)，點(diǎn)F從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t （s）（0＜t＜5）．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFCE是矩形？
（2）設(shè)△PEF的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF的面積是△ABC面積的 ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）連接BE，是否存在某一時(shí)刻t，使PF經(jīng)過(guò)BE的中點(diǎn)？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB= = =10，

∵PE∥BC，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴PE= （10﹣2t），AE= （10﹣2t），

當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PECF是矩形，

∴ （10﹣2t）=t，

解得t=

（2）解：S= PECE= × （10﹣2t）×[8﹣ （10﹣2t）]=﹣ t2+ t
（3）解：假設(shè)存在．由題意﹣ t2+ t= × ×6×8，

整理得t2﹣5t=5=0，

解得t= ，

∴t= 時(shí)，△PEF的面積是△ABC面積的

（4）解：當(dāng)PE=BF時(shí)，PF經(jīng)過(guò)BE的中點(diǎn)．

則有 （10﹣2t）=6﹣t，

解得t=0，不合題意，

∴不存在某一時(shí)刻t，使PF經(jīng)過(guò)BE的中點(diǎn)．

【解析】（1）首先依據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后由PE∥BC，可得到△APE∽△ABC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得到PE與t的關(guān)系式，最后，由當(dāng)PE=CF時(shí)，四邊形PECF是矩形，列出方程求解即可；
（2）由（1）可得到PE、CE的長(zhǎng)，然后再根據(jù)S=,PECE計(jì)算即可；
（3）假設(shè)存在．然后由△PEF的面積=△ABC面積的列方程求解即可.
（4）當(dāng)PE=BF時(shí)，PF經(jīng)過(guò)BE的中點(diǎn)．則有（10-2t）=6-t，從而可作出判斷.