Question

如圖，正方形AOCB在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在反比例函數(shù)（＞）圖象上，△BOC的面積為．

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）若動點(diǎn)E從A開始沿AB向B以每秒1個單位的速度運(yùn)動，同時動點(diǎn)F 從B開始沿BC向C以每秒個單位的速度運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．若運(yùn)動時間用t表示，△BEF的面積用表示，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)運(yùn)動時間t取何值時，△BEF的面積最大？
（3）當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PEF的周長最小？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形AOCB為正方形 ，∴AB=BC=OC=OA。
設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（，），
∵，∴，解得。
又∵點(diǎn)B在第一象限，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4）。
將點(diǎn)B（4，4）代入得，
∴反比例函數(shù)解析式為。
（2）∵運(yùn)動時間為t，動點(diǎn)E的速度為每秒1個單位，點(diǎn)F 的速度為每秒2個單位，
∴AE=t， BF。
∵AB=4，∴BE=。
∴。
∴S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為；當(dāng)時，△BEF的面積最大。
（3）存在。
當(dāng)時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，），
①作F點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)F₁，得F₁（4，），經(jīng)過點(diǎn)E、F₁作直線，
由E，4），F(xiàn)₁（4，）可得直線EF₁的解析式是，
當(dāng)時，，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）。
②作E點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)E₁，得E₁（，4），經(jīng)過點(diǎn)E₁、F作直線，
由E₁（，4），F(xiàn)（4，）可得直線E₁F的解析式是，
當(dāng)時，，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）。
綜上所述，P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（，0）或（0，）。

解析試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和△BOC的面積為，列式求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入，即可求得k，從而求得反比例函數(shù)的關(guān)系式。
（2）根據(jù)雙動點(diǎn)的運(yùn)動時間和速度表示出BF和BE，即可求得S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，化為頂點(diǎn)式即可根據(jù)二次函數(shù)的最值原理求得△BEF的面積最大時t的值。
（3）根據(jù)軸對稱的原理，分F點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)F₁和E點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)E₁兩種情況討論。