Question

（12分）如圖，拋物線y＝mx2―2mx―3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點， 與y軸交于C點。

（1）請求拋物線頂點M的坐標（用含m的代數(shù)式表示），A，B兩點的坐標；（6分）

（2）經(jīng)探究可知，△BCM與△ABC的面積比不變，試求出這個比值；（6分）

Answer 1

（1）M的坐標為（1，m），A，B兩點的坐標為（－1,0）、（3,0） （2）1:2

【解析】

試題分析：（1）將拋物線的解析式化為頂點坐標式，即可得到頂點M的坐標；拋物線的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐標．

（2）易求得C點坐標，即可得到OC的長，以AB為底，OC為高，即可求出△ABC的面積；△BCM的面積無法直接求得，可用割補法求解，過M作MD⊥x軸于D，根據(jù)B、C、M四點坐標，可分別求出梯形OCMD、△BDM的面積，它們的面積和減去△BOC的面積即為△BCM的面積，進而可得到△ABC、△BCM的面積比

試題解析：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m（x2―2x―3）＝m（x－1）2―4m，

∴拋物線頂點M的坐標為（1，-4m），

∵拋物線y＝mx2―2mx―3m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，

∴當y＝0時，mx2―2mx―3m＝0，

∵m＞0，

∴x2―2x―3＝0，

解得x1＝－1，x,2＝3，

∴A，B兩點的坐標為（－1,0）、（3,0）.

（2）當x＝0時，y＝―3m，

∴點C的坐標為（0，－3m），

∴S△ABC＝×|3－（－1）|×|－3m|＝6|m|＝6m，

過點M作MD⊥x軸于D，

則OD＝1，BD＝OB－OD＝2，

MD＝|－4m |＝4m.

∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC

=

=

=3m．

∴S△BCM：S△ABC=1：2

考點：二次函數(shù)的綜合題

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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