Question

紅星公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量y₁（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如圖所示；未來40天內(nèi)，每天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為：y₂=

1 4 t+25(1≤t≤20) - 1 2 t+40(21≤t≤40)

（t為整數(shù)）；
（1）求日銷售量y₁（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請預(yù)測未來40天中哪一天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實(shí)際銷售的前20天中該公司決定銷售一件商品就捐贈a元（a為定值）利潤給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，第18天的時(shí)候，扣除捐贈后日銷售利潤為這20天中的最大值，求a的值．

Answer 1

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求a的取值．

解答：解：（1）設(shè)一次函數(shù)為y=kt+b，
將（30，36）和（10，76）代入一次函數(shù)y=kt+b中，
有

36=30k+b 76=10k+b

，
解得：

k=-2 b=96

．
故所求函數(shù)解析式為y=-2t+96；

（2）設(shè)前20天日銷售利潤為W₁元，后20天日銷售利潤為W₂元．
由W₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20）
=（-2t+96）（

1

4

t+5）
=-

1

2

t²+14t+480
=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，
∴當(dāng)t=14時(shí)，W₁有最大值578（元）．
由W₂=（-2t+96）（-

1

2

t+40-20）
=（-2t+96）（-

1

2

t+20）
=t²-88t+1920
=（t-44）²-16．
∵21≤t≤40，此函數(shù)對稱軸是t=44，
∴函數(shù)W₂在21≤t≤40上，在對稱軸左側(cè)，隨t的增大而減�。�
∴當(dāng)t=21時(shí)，W₂有最大值為（21-44）²-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天時(shí)，銷售利潤最大，為578元；

（3）由題意得：W=（-2t+96）（

1

4

t+25-a）（1≤t≤20），配方得：
W=-

1

2

[t-2（a+7）]²+2（a-17）²（1≤t≤20）
∵a為定值，而t=18時(shí)，W最大，
∴2（a+7）=18，解得：a=2

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性，最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．