【題目】如圖,在矩形ABCD中,E為AD邊上的一點(diǎn),過C點(diǎn)作CF⊥CE交AB的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:△CDE∽△CBF;
(2)若B為AF的中點(diǎn),CB=3,DE=1,求CD的長.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°,

∵CF⊥CE

∴∠4+∠3=90°

∴∠2=∠4,

∴△CDE∽△CBF


(2)解:∵四邊形ABCD是矩形,

∴CD=AB,

∵B為AF的中點(diǎn)

∴BF=AB,

設(shè)CD=BF=x

∵△CDE∽△CBF,

,

,

∵x>0,

∴x= ,

即CD的長為


【解析】(1)先利用矩形的性質(zhì)得∠D=∠1=∠2+∠3=90°,然后根據(jù)等角的余角相等得到∠2=∠4,則可判斷△CDE∽△CBF;(2)先∴BF=AB,設(shè)CD=BF=x,再利用△CDE∽△CBF,則可根據(jù)相似比得到 ,然后利用比例性質(zhì)求出x即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解矩形的性質(zhì)(矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等),還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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