Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，、，將經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移變化后得到如圖1所示的.

（1）求經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）連結(jié)，點(diǎn)是位于線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若直線將的面積分成兩部分，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）現(xiàn)將、分別向下、向左以的速度同時(shí)平移，求出在此運(yùn)動(dòng)過程中與重疊部分面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)平移性質(zhì)寫出C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線解析式為，然后將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，求出a,b,c即可確定此拋物線解析式；（2）分兩種情況計(jì)算，設(shè)直線與交于點(diǎn). ∵直線將的面積分成兩部分，∴或，過作于點(diǎn)，則∥.∴∽,∴.∴當(dāng)時(shí)，，能求出EF,BF,的長(zhǎng)度，再求出OF的長(zhǎng)度，于是E點(diǎn)坐標(biāo)確定，直線EC的解析式也就知道了，因?yàn)镻點(diǎn)在直線EC上，又在拋物線上，列兩解析式相等，即可求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入兩個(gè)中任何一個(gè)解析式就可求出P點(diǎn)縱坐標(biāo).當(dāng)時(shí)，同樣有，于是有，同樣求出EF,BF,的長(zhǎng)度，再求出OF的長(zhǎng)度，確定E點(diǎn)坐標(biāo)及直線EC的解析式，列兩解析式相等，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)向下平移的距離為，則△CBD向左平移的距離為2t，與重疊部分的面積為.當(dāng)C點(diǎn)向左平移到A1B1邊上時(shí)，兩三角形重疊部分由四邊形變?yōu)橹苯侨�角形，算出t=，即當(dāng)時(shí)，與重疊部分為四邊形.設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié).由已知求出的解析式，的解析式，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，兩個(gè)解析式聯(lián)立求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，建立重疊部分S與t的二次函數(shù)并算出最大值.平移過程中當(dāng)D點(diǎn)與交于x軸同一點(diǎn)時(shí)，這時(shí)重疊部分為0，算出t=，即當(dāng)時(shí)，與重疊部分為直角三角形.設(shè)與軸交于點(diǎn)， 與交于點(diǎn).則，利用三角形相似或平移的距離表示出重疊部分三角形的底和高，建立S與t的二次函數(shù)，算出最大值，兩種情況進(jìn)行比較，得出結(jié)論.

試題解析：（1）由題意可知、，將經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、平移變化得到如圖所示的，

∴.∴.設(shè)經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線解析式為，則有，解得：. ∴經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為；（2）如圖4.1所示，設(shè)直線與交于點(diǎn). ∵直線將的面積分成兩部分，∴或，過作于點(diǎn)，則∥.∴∽,∴.∴當(dāng)時(shí)，有，∴，∴.設(shè)直線解析式為，將E,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，則可求得其解析式為，∴，解得（舍去），∴；當(dāng)時(shí)，同樣有∽,∴.即，解得EF= ,BF= ,OF=，所以E(-,),設(shè)直線解析式為，將E,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，則可求得其解析式為，于是有，整理得：，解得（舍去），將代入直線EC解析式求出y=,所以.綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為，；

（3）設(shè)向下平移的距離為，則△CBD向左平移的距離為2t，與重疊部分的面積為.可由已知求出的解析式為，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為. 的解析式為，與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為. ①當(dāng)C點(diǎn)向左平移到A1B1邊上時(shí)，兩三角形重疊部分由四邊形變?yōu)橹苯侨�角形，由平行相似可得關(guān)系式：，解得t=,即當(dāng)時(shí)，與重疊部分為四邊形.如圖4.2所示，設(shè)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié).由，得，解得.∴.即當(dāng)t=時(shí)的最大值為.②平移過程中當(dāng)D點(diǎn)與交于x軸同一點(diǎn)時(shí)，這時(shí)重疊部分面積為0，由DO∥可得關(guān)系式：,解得t=如圖所示，即當(dāng)時(shí)，與重疊部分為直角三角形. 設(shè)與軸交于點(diǎn)， 與交于點(diǎn).G點(diǎn)橫坐標(biāo)為1-2t,設(shè)G點(diǎn)縱坐標(biāo)為x，則，解得x=4-5t,于是G點(diǎn)坐標(biāo)為，則，.∴.即當(dāng)t=時(shí)，S最大值是，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為.因?yàn)?/span><,所以在此運(yùn)動(dòng)過程中與重疊部分面積的最大值為.