【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC,對角線BD平分∠ABC,P是BD上一點,過點P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分別為M,N.

(1)求證:∠ADB=∠CDB;
(2)若∠ADC=90°,求證:四邊形MPND是正方形.

【答案】
(1)

證明:∵對角線BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠CBD,

在△ABD和△CBD中,

,

∴△ABD≌△CBD(SAS),

∴∠ADB=∠CDB;


(2)

證明:∵PM⊥AD,PN⊥CD,

∴∠PMD=∠PND=90°,

∵∠ADC=90°,

∴四邊形MPND是矩形,

∵∠ADB=∠CDB,

∴∠ADB=45°

∴PM=MD,

∴四邊形MPND是正方形.


【解析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性質(zhì)即可得到:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,由(1)中的條件可得四邊形MPND是矩形,再根據(jù)兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形.

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