Question

27、閱讀下文，尋找規(guī)律：已知x≠1，計(jì)算：（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）觀察上式，猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

．
證明你的猜想：
（2）根據(jù)你的猜想，計(jì)算：（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=

-127

．

Answer 1

分析：觀察下列各式（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴可以推出（1-x）（1+x+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，即右邊項(xiàng)的最大指數(shù)等于左邊項(xiàng)最大指數(shù)，左邊的項(xiàng)是對(duì)右邊項(xiàng)的因式分解，依此規(guī)律分別求解．

解答：解：（1）由（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
可以看出每一個(gè)等式左邊的最大指數(shù)等于右邊的最大指數(shù)，且左邊相當(dāng)于對(duì)右邊的因式分解，
所以得出規(guī)律：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹．
（2）由（1）得出的規(guī)律可得
（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=1-2⁷=-127，空白處應(yīng)填-127；
故答案為：1-xⁿ⁺¹，-127；

點(diǎn)評(píng)：本題是規(guī)律型的，關(guān)鍵在于根據(jù)各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹，使等式左右兩邊的最大指數(shù)相同且左邊是右邊的因式分解的規(guī)律．