【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+3交x軸于A點,交y軸于B點,過A、B兩點的拋物線y=-x2+bx+c交x軸于另一點C,點D是拋物線的頂點.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)點P是直線AB上方的拋物線上一點(不與點A、B重合),過點Px軸的垂線交x軸于點H,交直線AB于點F,作PGAB于點G.求出PFG的周長最大值;

(3)在拋物線上是否存在除點D以外的點M,使得ABMABD的面積相等?若存在,請求出此時點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3;(2).(3)M1(-2,3),M2,),M3,).

【解析】

試題分析:(1)將已知點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;

(2)首先根據(jù)PFG是等腰直角三角形,設(shè)P(m,-m2-2m+3)得到F(m,m+3),進而得到PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m,從而得到PFG周長為:-m2-3m+(-m2-3m),配方后即可確定其最大值;

(3)當(dāng)DM1AB,M3M2AB,且與AB距離相等時,根據(jù)同底等高可以確定ABM與ABD的面積相等,分別求得直線DM1解析式為:y=x+5和直線M3M2解析式為:y=x+1,聯(lián)立之后求得交點坐標(biāo)即可.

試題解析:(1)直線AB:y=x+3與坐標(biāo)軸交于A(-3,0)、B(0,3),

代入拋物線解析式y(tǒng)=-x2+bx+c中,得:

,

拋物線解析式為:y=-x2-2x+3;

(2)由題意可知PFG是等腰直角三角形,

設(shè)P(m,-m2-2m+3),

F(m,m+3),

PF=-m2-2m+3-m-3=-m2-3m,

PFG周長為:-m2-3m+(-m2-3m),

=-(+1)(m+2+,

∴△PFG周長的最大值為:

(3)點M有三個位置,如圖所示的M1、M2、M3,都能使ABM的面積等于ABD的面積.

此時DM1AB,M3M2AB,且與AB距離相等,

D(-1,4),

E(-1,2)、則N(-1,0)

y=x+3中,k=1,

直線DM1解析式為:y=x+5,

直線M3M2解析式為:y=x+1,

x+5=-x2-2x+3或x+1=-x2-2x+3,

x1=-1,x2=-2,x3=,x4=,

M1(-2,3),M2,),M3,).

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