Question

（2013•槐蔭區(qū)二模）如圖，點P是雙曲線y=

k

x

（x＞0）上一點，以點P為圓心，2為半徑的圓與直線y=x的交點為A、B．
（1）當⊙P與x軸和y軸都相切時，求點P的坐標及雙曲線的函數表達式；
（2）若點P在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上運動，當弦AB的長等于2

3

時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出點P到x軸和y軸的距離都是2，進而利用待定系數法求反比例函數解析式即可；
（2）根據當點P在直線l上方時，以及點P在直線l下方時，分別得出P點坐標即可．

解答：解：（1）∵⊙P與x軸和y軸都相切，半徑為2，
∴點P到x軸和y軸的距離都是2，
∴點P（2，2），
∴2=

k

2

，
∴k=4，
∴雙曲線的函數表達式為：y=

4

x

．

（2）設點P（m，n），
當點P在直線l上方時，
如圖1，作PC⊥AB于點C，作PD⊥x軸于點D，PD與AB交于點E，連結PB，
∴C是AB中點，
∴BC=

3

，
∴PC=

PB2-BC2

=

4-3

=1，
∵點E在直線y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=

2

PC=

2

，
∴n=PD=DE+PE=m+

2

，
∵點P在雙曲線y=

4

x

上，
∴mn=4，
∴m（m+

2

）=4，
解得：m₁=

2

，m₂=-2

2

，
∵點P在第一象限，
∴m=

2

，
∴n=2

2

，
∴點P（

2

，2

2

），
設點P（m，n），
點P在直線l下方時，
如圖2，作PC⊥AB于點C，作PD⊥x軸于點D，PD與AB交于點E，連結PA，
∴C是AB中點，
∴AC=

3

，
∴PC=

PA2-AC2

=

4-3

=1，
∵點E在直線y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=

2

PC=

2

，
∴n=PD=DE-PE=m-

2

，
∵點P在雙曲線y=

4

x

上，
∴mn=4，
∴m（m-

2

）=4，
解得：m₁=-

2

，m₂=2

2

，
∵點P在第一象限，
∴m=2

2

，
∴n=

2

，
∴點P（2

2

，

2

），
∴綜上所述，點P的坐標為（

2

，2

2

）或（2

2

，

2

）．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相切的性質和反比例函數的性質等知識，利用數形結合以及分類討論得出是解題關鍵．