Question

如圖1所示，已知直線y=kx+m與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x=-時(shí)，y取最大值．
（1）求拋物線和直線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，且S_△ABP：S_△BPC=1：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）直線y=x+a與（1）中所求的拋物線交于點(diǎn)M、N，兩點(diǎn)，問：
①是否存在a的值，使得∠MON=90°？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
②猜想當(dāng)∠MON＞90°時(shí)，a的取值范圍．（不寫過程，直接寫結(jié)論）
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則M、N兩點(diǎn)之間的距離為|MN|=）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c，當(dāng)x=-時(shí)，y取最大值，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，），可寫出拋物線的頂點(diǎn)式，再根據(jù)拋物線的解析式求出A、C的坐標(biāo)，然后將A、C的坐標(biāo)代入
y=kx+m，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；
（2）根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實(shí)際是AP：PC=1：3，即3AP=PC，可先求出AC的長，然后分情況討論：
①當(dāng)P在線段AC上時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，點(diǎn)H為垂足．由PH∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出PH的長，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)P在CA的延長線上時(shí)，由PG∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出PG的長，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，設(shè)直線y=x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點(diǎn)為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側(cè)），則x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的兩個(gè)根，由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得，x_M+x_N=-，x_M•x_N=a-6，進(jìn)而求出y_M•y_N=（a-6）-a+a²．
①由于∠MON=90°，根據(jù)勾股定理得出OM²+ON²=MN²，據(jù)此列出關(guān)于a的方程，解方程即可求出a的值；
②由于∠MON＞90°，根據(jù)勾股定理得出OM²+ON²＜MN²，據(jù)此列出關(guān)于a的不等式，解不等式即可求出a的范圍．
解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c，當(dāng)x=-時(shí)，y取最大值，
∴拋物線的解析式是：y=-（x+）²+，即y=-x²-x+6；
當(dāng)x=0時(shí)，y=6，即C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，6），
當(dāng)y=0時(shí)，-x²-x+6=0，解得：x=2或-3，
即A點(diǎn)坐標(biāo)是（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0）．
將A（-3，0），C（0，6）代入直線AC的解析式y(tǒng)=kx+m，
得，
解得：，
則直線的解析式是：y=2x+6；

（2）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，
∵S_△ABP：S_△BPC=1：3，
∴=，
∴AP：PC=1：3，
由勾股定理，得AC==3．
①當(dāng)點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P作PH⊥x軸，點(diǎn)H為垂足．
∵PH∥OC，
∴==，
∴PH=，
∴=2x+6，
∴x=-，
∴點(diǎn)P（-，）；
②當(dāng)點(diǎn)P在CA延長線時(shí)，作PG⊥x軸，點(diǎn)G為垂足．
∵AP：PC=1：3，
∴AP：AC=1：2．
∵PG∥OC，
∴==，
∴PG=3，
∴-3=2x+6，x=-，
∴點(diǎn)P（-，-3）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-，）或（-，-3）．

（3）設(shè)直線y=x+a與拋物線y=-x²-x+6的交點(diǎn)為M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）（M在N左側(cè)）．
則，為方程組的解，
由方程組消去y整理，得：x²+x+a-6=0，
∴x_M、x_N是方程x²+x+a-6=0的兩個(gè)根，
∴x_M+x_N=-，x_M•x_N=a-6，
∴y_M•y_N=（x_M+a）（x_N+a）=x_M•x_N+（x_M+x_N）+a²=（a-6）-a+a²．
①存在a的值，使得∠MON=90°．理由如下：
∵∠MON=90°，
∴OM²+ON²=MN²，即+++=（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化簡得x_M•x_N+y_M•y_N=0，
∴（a-6）+（a-6）-a+a²=0，
整理，得2a²+a-15=0，
解得a₁=-3，a₂=，
∴存在a值，使得∠MON=90°，其值為a=-3或a=；
②∵∠MON＞90°，
∴OM²+ON²＜MN²，即+++＜（x_M-x_N）²+（y_M-y_N）²，
化簡得x_M•x_N+y_M•y_N＜0，
∴（a-6）+（a-6）-a+a²＜0，
整理，得2a²+a-15＜0，
解得-3＜a＜，
∴當(dāng)∠MON＞90°時(shí)，a的取值范圍是-3＜a＜．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平行線分線段成比例定理，函數(shù)與方程的關(guān)系，勾股定理，鈍角三角形三邊的關(guān)系等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．運(yùn)用分類討論、數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．