Question

如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)P，Q是AC的中點(diǎn)，連接QP并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

（1）判斷直線PQ與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：

（2）若AP=4，tanA=，

①求⊙O的半徑的長(zhǎng)；

②求PD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）直線PQ與⊙O相切．理由見解析；（2）①；②.

【解析】

試題分析：（1）首先連接OP、CP，由BC是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理可得∠BPC=90°，又由Q是AC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得PQ=CQ=AQ，繼而可證得∠1+∠3=90°，則可得直線PQ與⊙O相切；

（2）在Rt△APC中利用三角函數(shù)求出PC和AC的長(zhǎng)；在Rt△ABC中求出BC的長(zhǎng)即可確定圓的半徑；

（3）連接OQ，易證△DOQ∽△DBP，得，即，又BP=1，PQ=AC=，從而可求PD的長(zhǎng).

試題解析：（1）直線PQ與⊙O相切．理由如下：

連接OP、CP．

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BPC=90°．

又∵Q是AC的中點(diǎn)，

∴PQ=CQ=AQ．

∴∠3=∠4，

∵∠BCA=90°，

∴∠2+∠4=90°．

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=90°．

即∠OPQ=90°，

∴直線PQ與⊙O相切；

（2）①在Rt△APC中，AP=4，tanA=

∴CP=AP×tanA=4×=2

∴AC=

在Rt△ABC中，AC=，tanA=

∴BC=AC×tanA=×=

即⊙O的半徑長(zhǎng)為

（3）連接OQ

∵Q是AC的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)

∴OQ∥AB，OQ=AB=

∴△DOQ∽△DBP

∴

即：

又BP=1，PQ=AC=

∴

即：PD=

考點(diǎn)：1.切線的判定；2.相似三角形的性質(zhì)與判定．

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：圓 圓，圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計(jì)算是近幾年各地中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結(jié)論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內(nèi)容：①圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。垂徑定理是重點(diǎn)。② 直線和圓，圓和圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。③弧長(zhǎng)，扇形面積，圓柱，圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算④圓與相似三角形，三角函數(shù)的綜合運(yùn)用以及有關(guān)的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化。②理解直線和原的三種位置關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定的歌，會(huì)根據(jù)條件解決圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關(guān)系來(lái)盤底的那個(gè)兩個(gè)圓的位置關(guān)系，對(duì)中考試題中常出現(xiàn)的閱讀理解題，探索題，要靈活運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行合理推理與計(jì)算。④掌握弧長(zhǎng)，扇形面積計(jì)算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側(cè)面展開圖⑥對(duì)組合圖形 的計(jì)算要靈活運(yùn)用計(jì)算方法解題。 試題屬性

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